3. Теория неявных функций. 2018

1.

Глава 3. ТЕОРИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
3.1. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
В математике и в ее приложениях приходится сталкиваться с такими задачами, когда переменная y , являющаяся по смыслу задачи
функцией аргументов x1 ,K , xm , задается посредством функционального уравнения
r
F ( x , y ) = F ( x1 ,K , xm , y ) = 0 .
(3.1)
В этом случае говорят, что y как функция аргументов x1 ,K , xm задана неявно.
Теорема 3.1 (о непрерывности неявной функции). Пусть
функция F ( x1 ,K , xm , y ) удовлетворяет следующим условиям:
r
1) F ( x , y ) непрерывна в некоторой окрестности точки
N 0 ( x10 ,K , xm0 , y 0 ) Î ¡ m+1 , причем F ( N 0 ) = 0 ,
2) имеет в этой окрестности частную производную Fy¢ , непрерывную в точке N 0 , причем Fy¢ ( N 0 ) ¹ 0 .
Тогда в некоторой окрестности точки M 0 ( x10 ,K , xm0 ) Î ¡ m уравнение
(3.1) определяет единственную функцию y = f ( x1 ,K , xm ) , причем
эта функция непрерывна в рассматриваемой окрестности.
Теорема 3.2 (о дифференцируемости неявной функции). Если
выполнены все условия теоремы 3.1 и при этом в некоторой окрестности точки N 0 существуют все частные производные функции
F ( x1 ,K , xm , y ) , непрерывные в этой точке, то в некоторой окрестно-
сти точки M 0 ( x10 ,K , xm0 ) Î ¡ m уравнение (3.1) определяет един-
ственную функцию y = f ( x1 ,K , xm ) , причем эта функция непрерывна в рассматриваемой окрестности, а в самой точке M 0 имеет частные производные f x¢i , i = 1, m .
З а м е ч а н и е 1 . Если дополнительно потребовать непрерывr
ность частных производных функции F ( x , y ) в окрестности точки
N 0 , то частные производные f x¢i , i = 1, m будут непрерывны в некоторой окрестности точки M 0 .
75

2.

З а м е ч а н и е 2 . Предыдущее замечание можно переформулировать следующим образом: из дифференцируемости функции
r
F ( x , y ) в окрестности точки N 0 , при выполнении условий теоремы
r
3.1, следует дифференцируемость функции y = f ( x ) в окрестности
точки M 0 .
Вычисление частных производных неявно заданной функции
Если выполнены все условия теоремы 3.2, то частные производные функции y = f ( x1 ,K , xm ) в точке M 0 можно вычислить по
формуле
Fx¢
(3.2)
f x¢k = - k , k = 1, m .
Fy¢
При дополнительном условии непрерывности частных производных Fy¢ , Fx¢k , k = 1, m в некоторой окрестности точки N 0 формула
(3.2) становится верна в некоторой окрестности точки M 0 .
Чтобы обеспечить существование у функции y = f ( x1 ,K , xm )
частных производных более высоких порядков в рассматриваемой
точке, следует потребовать, чтобы функция F ( x1 ,K , xm , y ) была
дифференцируема соответствующее число раз в этой точке.
П р и м е р 3.1. Докажем, что уравнение
z 3 - xyz + y 2 = 16
(3.3)
определяет в некоторой окрестности точки (1, 4, 2 ) единственную
неявную функцию вида z = f ( x, y ) . Найдем ее частные производные z ¢y и z ¢¢yx .
Функция F ( x, y, z ) = z 3 - xyz + y 2 - 16 дифференцируема в любой окрестности точки N 0 (1, 4, 2 ) . Производная Fz¢ = 3 z 2 - xy непрерывна в точке M 0 (1, 4 ) . Наконец, F (1, 4, 2 ) = 0 , Fz¢ (1, 4, 2 ) ¹ 0 . Следовательно, согласно замечанию 2 к теореме 3.2 в некоторой
окрестности точки M 0 (1, 4 ) уравнение (3.3) определяет единственную дифференцируемую неявную функцию вида z = f ( x, y ) , причем j (1, 4 ) = 2 . Более того, так как функция F ( x, y, z ) дважды дифференцируема в любой окрестности точки N 0 (1, 4, 2 ) , функция
76

3.

z = f ( x, y ) также будет дважды дифференцируема в некоторой
окрестности M 0 (1, 4 ) .
Теперь рассмотрим несколько способов вычисления частных
производных полученной функции.
Способ 1. Для вычисления частных производных применим
формулу (3.2):
F ¢ ( x, y , z )
¶z
- xz + 2 y
=- y
=- 2
,
(3.4)
¶y
Fz¢ ( x, y, z ) z =j x , y
3 z - xy
(
)
¶2 z
¶ æ ¶z ö ¶ æ xz - 2 y ö
= ç ÷= ç 2
=
¶x¶y ¶x è ¶y ø ¶x è 3 z - xy ÷ø
=
( xz¢x + z ) ( 3z 2 - xy ) - ( xz - 2 y ) ( 6 zz x¢ - y )
( 3z 2 - xy )
2
.
(3.5)
Таким образом, для нахождения z ¢¢yx необходимо вычислить z ¢x и
подставить полученное выражение в (3.5).
Способ 2. Предполагая, что функция z = f ( x, y ) подставлена в
уравнение (3.3), продифференцируем полученное тождество по y :
3z 2 z ¢y - xyz ¢y - xz + 2 y = 0 .
(3.6)
Решая это уравнение, относительно z ¢y получим выражение (3.4).
Чтобы найти z ¢¢yx , продифференцируем (3.6) по x :
6 z × z ¢x z ¢y + 3z 2 z ¢¢yx - xyz ¢¢yx - yz ¢y - xz ¢x - z = 0 .
Далее необходимо решить это уравнение относительно z ¢¢yx и
подставить вместо z ¢x и z ¢y соответствующие выражения.
Способ 3. Предполагая, что функция z = f ( x, y ) подставлена в
уравнение (3.2), вычислим дифференциал от обеих частей полученного тождества:
( 3z - xy ) dz - yz dx + (- xz + 2 y) dy = 0 .
2
При 3z 2 - xy ¹ 0 данное равенство преобразуется к виду
yz
xz - 2 y
dz = 2
dx + 2
dy .
3 z - xy
3z - xy
77
(3.7)
(3.8)

4.

Следовательно, согласно теореме 1.15 получаем
¶z xz - 2 y
.
=
¶y 3z 2 - xy
Чтобы вычислить вторые производные функции z = f ( x, y ) ,
продифференцируем равенство (3.7):
( 3z - xy ) d z + 6 z × dz - 2 x × dydz - 2 y × dxdz - 2 z × dxdy + 2dy = 0 .
2
2
2
2
Подставляя в полученное равенство соотношение
dz = z ¢x dx + z ¢y dy ,
получаем
( 3z - xy ) d z + ( -2 y × z¢ + 6 z × ( z¢ ) ) dx +
2
2
2
x
(
2
x
)
+ -2 x × z ¢y + 6 z × ( z ¢y ) + 2 dy 2 +
2
+ ( -2 z - 2 y × z ¢y - 2 x × z ¢x + 12 z × z ¢x z ¢y ) dxdy = 0 .
Таким образом,
-2 x × z ¢y + 6 z × ( z ¢y ) + 2 2
-2 y × z ¢x + 6 z × ( z ¢x )
2
2
d z=dx dy 3 z 2 - xy
3z 2 - xy
2
2
-
-2 z - 2 y × z ¢y - 2 x × z x¢ + 12 z × z ¢x z ¢y
dxdy.
3z 2 - xy
Отсюда, с учетом выражения для дифференциала второго порядка функции многих переменных, заключаем, что
¶ 2 z z + y × z ¢y + x × z ¢x - 6 z × z ¢x z ¢y
=
.
¶x¶y
3z 2 - xy
Подставляя в полученное равенство выражения для z ¢x и z ¢y , получаем требуемый ответ.
З а м е ч а н и е . Третий способ удобен в тех случаях, когда необходимо вычислить все частные производные первого порядка заданной неявной функции. При этом производные более высоких
порядков, как правило, легче вычисляются дифференцированием
производных меньших порядков, как это продемонстрировано при
решении первым способом. Кроме того, второй и третий способы
можно эффективно применять при нахождении значений производных неявно заданной функции в фиксированной точке.
78

5.

П р и м е р 3.2. Найдем в точке (0,1) второй дифференциал функции z ( x, y ) , заданной неявно функциональным уравнением
F ( x, y, z ) = 2 x3 y 5 - z 2 xy + ( x + y ) z 3 - 1 = 0 .
(3.9)
Подставив в (3.9) значения x = 0, y = 1, получим уравнение
z = 1, которое имеет единственное решение z = 1. Легко проверить
(аналогично предыдущему примеру), что в окрестности точки (0,1)
уравнение (3.9) задает единственную дифференцируемую функцию.
Продифференцировав уравнение (3.9), получим
3
( 6 x y - yz + z ) dx + (10 x y - xz + z ) dy +
+ ( -2 xyz + 3 ( x + y ) z ) dz = 0.
2
5
2
3
3
4
2
3
2
(3.10)
Теперь, подставляя значения x = 0, y = 1, z = 1 в формулу (3.10),
находим первый дифференциал функции z ( x, y ) в точке (0,1) :
1
dy.
3
Чтобы найти d 2 z , продифференцируем равенство (3.10):
dz ( 0,1) = -
(3.11)
12 xy 5dx 2 + 40 x3 y 3dy 2 + 2 ( 30 x 2 y 4 - z 2 ) dxdy + 2 ( -2 yz + 3z 2 ) dxdz +
+2 ( -2 xz + 3z 2 ) dydz + ( -2 xy + 6 ( x + y ) z ) dz 2 +
+ ( -2 xyz + 3 ( x + y ) z 2 ) d 2 z = 0.
Подставляя в полученное соотношение значения x, y, z , а также
используя полученное ранее выражение для dz , находим второй
дифференциал функции z ( x, y ) в точке (0,1) :
d2z
8
4
= dxdy + dy 2 .
( 0,1)
9
9
П р и м е р 3.3. Найдем локальные экстремумы неявных функций
вида z = f ( x, y ) , определяемых функциональным уравнением:
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y - 4 z - 10 = 0 .
(3.12)
Предполагая, что дифференцируемая неявная функция
z = f ( x, y ) подставлена в уравнение (3.12), вычислим дифференциалы от обеих частей полученного тождества:
(3.13)
( 2 x - 2 ) dx + ( 2 y + 2 ) dy + ( 2 z - 4 ) dz = 0 .
79

6.

Следовательно, при z ¹ 2 :
x -1
y +1
dz =
dx +
dy .
2- z
2- z
Используя необходимое условие экстремума dz = 0 , находим
критические точки:
ì ¢ x -1
ì x = 1,
ïï z x = 2 - z = 0,
ï
или í y = -1,
í
ï z ¹ 2.
ï z ¢ = y + 1 = 0.
î
ïî y 2 - z
Подставив значения x = 1, y = -1 в уравнение (3.12), найдем соответствующие значения z :
z 2 - 4 z - 12 = 0 Þ z = -2 или z = 6 .
Таким образом, получили две критические точки A1 (1, -1, -2 ) и
A2 (1, -1,6 ) . Заметим, что Fz¢ ( A1 ) ¹ 0 и Fz¢ ( A2 ) ¹ 0 , и, следовательно,
в окрестностях точек A1 и A2 выполнены все условия теоремы о
существовании неявно заданной функции. Так как функция
F ( x, y, z ) дважды дифференцируема, то в некоторой окрестности
точки Ai ( i = 1, 2 ) существует единственная дважды дифференцируемая неявная функция z = fi ( x, y ) . При этом f1 (1, -1) = -2 ,
f 2 (1, -1) = 6 . Точка (1, -1) является точкой возможного экстремума
для каждой из функций f1 ( x, y ) и f 2 ( x, y ) .
Чтобы применить достаточное условие экстремума, надо найти
вторые дифференциалы этих функций. Для этого вычислим дифференциалы от обеих частей тождества (3.13):
dx 2 + dy 2 + dz 2
2
2
2
2
2
2 dx + 2 dy + 2dz + ( 2 z - 4 ) d z = 0 , или d z =
.
2- z
Учитывая, что dz (1,-1) = 0 , получаем
d 2 f1
(1,-1)
= 0.25 ( dx 2 + dy 2 ) , d 2 f 2
Таким образом, d 2 f1
(1,-1)
(1,-1)
= -0.25 ( dx 2 + dy 2 ) .
является положительно определенной
квадратичной формой, а d 2 f 2
(1,-1)
– отрицательно определенной
квадратичной формой. Следовательно, функция z = f1 ( x, y ) имеет в
точке (1, -1) локальный минимум, равный -2 , а функция
z = f 2 ( x, y ) имеет в точке (1, -1) локальный максимум, равный 6 .
80

7.

П р и м е р 3.4*. Найдем локальные экстремумы неявных функций
вида z = f ( x, y ) , определяемых функциональным уравнением:
F ( x, y, z ) = ( x 2 + y 2 + z 2 + 9 ) - 100 ( x 2 + y 2 ) = 0, z < 0 . (3.14)
2
Пусть t = t ( x, y ) = x 2 + y 2 , тогда функциональное уравнение
(3.14) примет вид
F ( t , z ) = ( t + z 2 + 9 ) - 100t = 0, z < 0 .
2
(3.15)
Предполагая, что дифференцируемая неявная функция
z = j ( t ( x, y ) ) подставлена в уравнение (3.15), вычислим дифференциалы от обеих частей полученного тождества:
2 ( t + z 2 + 9 ) ( dt + 2 zdz ) = 100dt ,
2 ( t + z 2 + 9 ) zdz = ( 41 - t - z 2 ) dt .
(3.16)
Следовательно, dz = 0 , если z ¹ 0 и t = 41 - z 2 . Подставляя это
тождество в уравнение (3.15) и учитывая, что по условию z < 0 ,
найдем соответствующие значения z
502 = 100 ( 41 - z 2 )
Þ
z = -4 .
Таким образом, получили, что неявно заданная функция
z = j ( t ( x, y ) ) имеет критическую точку t = 25, z = -4 , а значит, критическими точками неявно заданной функции z = f ( x, y ) будут все
точки окружности x 2 + y 2 = 25 . Так как Fz¢ x 2 + y 2 =25 ¹ 0 F¢z t=25 ¹ 0 , в
окрестностях рассматриваемых точек выполнены все условия теоремы о существовании неявно заданной функции z = f ( x, y )
( z = j (t )) .
Чтобы применить достаточное условие экстремума, надо найти
второй дифференциал. Для этого вычислим дифференциалы от обеих частей тождества (3.16):
(
)
2 ( dt + 2 zdz ) zdz + 2 ( t + z 2 + 9 )( dz 2 + zd 2 z ) = ( -dt - 2 zdz ) dt .
Учитывая, что dz t =25 = 0 , получаем
1
dt 2 > 0 .
t = 25
400
Таким образом, все точки окружности x 2 + y 2 = 25 являются
точками нестрогого минимума.
d2z
=
81

8.

3.2. ВЕКТОРНЫЕ НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Предположим, что n функций
yi = ji ( x1 ,K , xm ) , i = 1, n
(3.17)
ищутся как решение системы n функциональных уравнений
Fi ( x1 ,K , xm , y1 ,K , yn ) = 0, i = 1, n .
(3.18)
Под термином решение понимают совокупность n функций
(3.17) таких, что при подстановке этих функций в систему (3.18) все
уравнения этой системы обращаются в тождество.
Теорема 3.3 (о векторной неявной функции). Пусть функции
Fi ( x1 ,K , xm , y1 ,K , yn ) , i = 1, n
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки
N 0 ( x10 ,..., xm0 , y10 ,..., yn0 ) Î ¡ m+n . Если в точке N 0 все эти функции обращаются в ноль, а якобиан
¶ ( F1 ,K , Fn )
¶ ( y1 ,K , yn )
( N 0 ) ¹ 0 , то в некоторой
окрестности точки M 0 ( x10 ,K , xm0 ) Î ¡ m система уравнений (3.18)
определяет единственный набор функций (3.17), являющихся решением данной системы, причем эти функции непрерывно дифференцируемы в рассматриваемой окрестности точки M 0 .
Вычисление частных производных неявно заданной векторной
функции. Предположим, что все условия существования и дифференцируемости неявной функции (т.е. условия теоремы) выполнены. Подставим функции (3.17) в систему (3.18), решением которой
эти функции являются, и продифференцируем получившиеся тождества по xl , l = 1, m . Получим
¶F1 ¶yn ¶F1
ì ¶F1 ¶y1
ï ¶y ¶x + L ¶y ¶x + ¶x = 0,
n
l
l
ï 1 l
¶F ¶y ¶F
ï ¶F2 ¶y1
+ L 2 n + 2 = 0,
ï
¶yn ¶xl ¶xl
í ¶y1 ¶xl
ï
L
ï
¶Fn ¶yn ¶Fn
ï ¶Fn ¶y1
+
L
+
= 0.
ï ¶y ¶x
¶
y
¶
x
¶
x
n
l
l
î 1 l
82
(3.19)

9.

Эти равенства представляют собой линейную систему уравнений
¶y
¶y1 ¶y2
,
,K , n . Определитель этой
относительно n неизвестных
¶xl ¶xl
¶xl
¶ ( F1 ,K , Fn )
системы является якобианом
, а значит, согласно усло¶ ( y1 ,K , yn )
вию, отличен от нуля в окрестности рассматриваемой точки N 0 .
Следовательно, система (3.19) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
¶yk
=
¶xl
-
¶ ( F1 , F2 ,K , Fn )
¶ ( y1 , y2 ,K , yk -1 , xl , yk +1 ,K , yn )
, k = 1, n. .
¶ ( F1 , F2 ,K , Fn )
¶ ( y1 , y2 ,K , yn )
(3.20)
В случае необходимости вычисления производной более высокого порядка ее вычисляют рекуррентно как производную от производной, имеющей порядок на единицу меньше, учитывая, что
y1 ,..., yn являются функциями переменных x1 ,..., xm .
3.3. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
Пусть n функций (3.17) определены и дифференцируемы в некоторой открытой m -мерной области A . Говорят, что одна из этих
функций, например yk , зависит в области A от остальных
функций, если сразу для всех точек ( x1 ,K , xm ) области A
yk = F ( y1 ,K , yk -1 , yk +1 ,K , yn ) ,
(3.21)
где F – некоторая функция, определенная и дифференцируемая в
соответствующей области изменения своих аргументов.
Функции y1 , y2 ,K , yn называют зависимыми в области A , если
одна из этих функций (безразлично какая) зависит в области A от
остальных.
Если же не существует дифференцируемой функции F такой, что
сразу для всех точек области A справедливо тождество вида (3.21),
то функции y1 , y2 ,K , yn называют независимыми в области A .
83

10.

Теорема 3.4 (необходимое условие зависимости функций).
Пусть в области A заданы n непрерывно дифференцируемых
функций:
y1 = j1 ( x1 ,K , xm ) ,
y2 = j2 ( x1 ,K , xm ) ,
L
(3.22)
yn = jn ( x1 ,K , xm ) ,
где n £ m . Если система функций (3.22) зависима в области A , то в
любой точке A ранг матрицы Якоби этой системы меньше n .
Пусть для определенности jn зависит от j1 , …, jn-1 :
r
r
r
jn = F ( j1 ( x ) ,K , jn-1 ( x ) ) , x Î A ,
где F ( y1 ,..., yn-1 ) – непрерывно дифференцируемая функция. Тогда
¶yn n-1 ¶F ¶yk
"j = 1, m
=å
.
¶x j k =1 ¶yk ¶x j
Эта формула показывает, что n -я строка матрицы Якоби
r
r
¶y1 ( x ) ö
æ ¶y1 ( x )
L
ç
÷
¶
x
¶xm ÷
1
ç
M ÷
(3.23)
ç M
r
r
ç ¶yn ( x )
¶yn ( x ) ÷
L
çç
÷÷
¶
x
¶
x
1
m
è
ø
r
в каждой точке x Î A является линейной комбинацией остальных
строк этой матрицы,
а значит, ранг матрицы Якоби меньше n в
r
каждой точке x Î A .
Следствие 1. Если m = n и система функций (3.22) зависима в об¶ ( y1 ,..., yn )
ласти A , то якобиан
равен 0 во всех точках области A .
¶ ( x1 ,..., xn )
Следствие 2. Если система функций (3.22) зависима в области
A , то градиенты grad y1 , …, grad yn этих функций линейно зависимы в каждой точке области A .
Следствие 3 (достаточное условие независимости функций).
Если хоть один определитель n -го порядка, составленный из элементов матрицы (3.23), отличен от нуля в области A , то в этой области функции y1 ,..., yn независимы.
84

11.

Теорема 3.5. Пусть у функциональной матрицы
r
r
¶y1 ( x ) ö
æ ¶y1 ( x )
L
ç
÷
¶
x
¶
x
1
m
ç
÷
M ÷
ç M
r
ç ¶yn ( xr )
¶yn ( x ) ÷
L
çç
÷
¶
x
¶xm ÷ø
1
è
1) некоторый минор r -го порядка отличен от нуля в точке
M 0 ( x10 ,K , xm0 ) ;
2) все миноры
( r + 1) -го порядка равны нулю в некоторой
окрестности точки M 0 ( x10 ,K , xm0 ) .
Тогда r функций, представленных в указанном миноре r -го порядка, независимы в окрестности точки M 0 , каждая из остальных
функций зависит в этой окрестности от указанных r функций.
З а м е ч а н и е . Если r = min ( n, m ) , то второе условие теоремы
следует опустить.
П р и м е р 3.5. Покажем, что система функций
u = x 2 + y 2 + z 2 , v = xy + yz + zx , w = x + y + z
является зависимой
Матрица Якоби для данной системы функций имеет вид
æ ¶u ¶u ¶u ö
ç ¶x ¶y ¶z ÷
ç
÷ æ 2x
2y
2z ö
ç ¶v ¶v ¶v ÷ ç
÷
ç ¶x ¶y ¶z ÷ = ç y + z x + z x + y ÷ .
ç
÷ ç 1
1
1 ÷ø
è
ç ¶w ¶w ¶w ÷
ç ¶x ¶y ¶z ÷
è
ø
Если к элементам второй строки прибавить соответственно эле1
менты первой строки, умноженные на , то получится строка, со2
стоящая (как и последняя) из равных элементов, а значит, все определители третьего порядка – нули. Следовательно, ранг матрицы
равен либо одному, либо двум, и значит, рассматриваемая система
функций зависима.
Действительно, " ( x, y, z ) u = w2 - 2v .
85

12.

З а м е ч а н и е . Достаточные условия зависимости функций имеют
локальный характер в отличие от достаточных условий независимости функций. Если система функций зависима в области A , то в
каждой точке области ранг матрицы Якоби этой системы меньше n
(соответственно, если хотя бы в одной точке области A ранг рассматриваемой матрицы равен n , то система независима во всей области A . Если же выполняются достаточные условия зависимости
r
функций, то только на некоторой окрестности точки x 0 (а не на всем
множестве A ) данная система функций является зависимой системой. Возможны случаи, когда в одной части рассматриваемой области имеет место одна зависимость, а в другой осуществляется другая
зависимость, или же функции оказываются независимыми, и т.п.
П р и м е р 3.6. Исследуем зависимость функций
ì x3 y 2 , x ³ 0;
ì x 2 y 3 , y ³ 0;
u=í 4 6
, v=í 6 4
x
y
,
x
<
0.
î
î x y , y < 0.
Легко проверить, что эти функции непрерывны вместе со своими частными производными на всей плоскости.
Очевидно, что при x £ 0, y ³ 0 и при x ³ 0, y £ 0 функции зависимы (во втором октанте u = v 2 , а в четвертом v = u 2 ).
Учитывая, что при x > 0, y > 0 и при x < 0, y < 0 матрица Якоби
имеет ненулевой определитель:
3x 2 y 2 2 x3 y
2 2
=
5
x
y > 0 , при x > 0, y > 0 ;
2 xy 3 3 x 2 y 2
4 x3 y 6 6 x 4 y 5
= -20 x9 y 9 < 0 , при x < 0, y < 0
5 4
6 3
6x y 4x y
можем утверждать, что в первом и третьем октантах функции независимы.
3.4. ЛОКАЛЬНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Пусть A Ì ¡ m – открытое множество, f : A ® ¡ . Для натурального s < m пусть ji : A ® ¡ , i = 1, s – заданные функции. Положим
rr
r
Q = x x Î A, ji ( x ) = 0, i = 1, s ,
{
}
в этом случае говорят, что множество Q определяется s уравнениями связи
r
r
r
j1 ( x ) = 0, j2 ( x ) = 0, K , js ( x ) = 0 .
(3.24)
86

13.

r
Функция f имеет в точке x 0 Î Q локальный относительный
максимум при условиях (3.24), если существует окрестность этой
r
r
точки, в которой "x Î Q f ( x ) £ f ( x 0 ) . Локальный относительный
максимум называется строгим, если в последнем выражении неравенство будет строгим. Аналогично определяются понятия локального относительного минимума и строго локального относительного минимума. Все эти понятия описываются также общим
термином локальный относительный (или условный) экстремум.
В том случае, когда уравнения (3.24) могут быть аналитически
разрешены относительно каких-либо s переменных, то, подставляя
r
полученные выражения в функцию f ( x ) , мы перейдем к функции
m - s переменных, локальный экстремум которой совпадет с условным экстремумом исходной функции при заданных уравнениях связи. Такой метод нахождения условного экстремума называется методом исключений.
Однако аналитически решить систему (3.24), как правило, очень
сложно, а иногда и невозможно. В связи с этим возникает необходимость в методе нахождения условного экстремума, не требующем
решения данной системы. Этот метод основан на следующих двух
теоремах.
Теорема 3.6 (необходимое условие локального относительного экстремума). Пусть A Ì ¡ m – открытое множество, на котором
заданы непрерывно дифференцируемые функции f и ji , i = 1, s , приr
чем s < m . Пусть далее x 0 Î A – точка локального относительного
s m
æ ¶j ö
экстремума функции f при ограничениях (3.24) и матрица ç i ÷
ç ¶x ÷
è j øi =1 j =1
имеет ранг s в этой точке. Тогда существуют действительные числа
r
l i , i = 1, s , такие, что точка x 0 – критическая точка функции
F = f + l1j1 + l 2 j2 + L + l s js .
(3.25)
Пусть, например,
¶ ( j1 ,K , js ) r 0
(3.26)
( x ) ¹ 0.
¶ ( xm-s +1 ,K , xm )
Тогда система
r
r
r
¶F ( x 0 ) ¶f ( x 0 ) s
¶ji ( x 0 )
=
+ å li
= 0 , j = m - s + 1, m (3.27)
¶x j
¶x j
¶
x
i =1
j
с неизвестными l1 , l 2 , K , l s имеет решение и притом единственное.
87

14.

Ограничения ji ( x1 ,K , xm ) = 0 , i = 1, s , ( x1 ,K , xm ) Î A , согласно
теореме 3.3, можно разрешить относительно переменных
xm-s +1 ,K , xm , как функций от x1 ,K , xm- s в некоторой окрестности
точки ( x10 ,K , xm0 -s ) . В этой окрестности на основании правила дифференцирования сложной функции получим
m
¶ji
¶ji ¶xk
"i = 1, s
+ å
= 0 , j = 1, m - s .
(3.28)
¶x j k =m-s +1 ¶xk ¶x j
Функция f ( x1 , K , xm-s , xm- s +1 ( x1 ,K , xm- s ) , K , xm ( x1 ,K , xm- s ) ) име-
ет локальный экстремум в точке ( x10 ,K , xm0 -s ) , поэтому
r
r
m
¶f ( x 0 )
¶f ( x 0 ) ¶xk
+ å
= 0 , j = 1, m - s .
¶x j
¶xk ¶x j
k = m - s +1
Выражая
согласно
формуле
(3.27)
производные
(3.29)
r
¶f ( x 0 )
¶xk
,
k = m - s + 1, m , получим
r
r
m
æ s
¶f ( x 0 )
¶ji ( x 0 ) ¶xk ö
÷ = 0.
+ å ç -å l i
ç
÷
¶x j
¶
¶
x
x
k = m - s +1
k
j
è i =1
ø
Меняя порядок суммирования и используя равенство (3.28), приходим к равенству вида
r
m
æ ¶ji ( xr 0 ) ¶x ö ö
¶f ( x 0 ) s æ
k ÷
÷ =
+ å ç li å ç ç
÷
ç
¶x j
¶
x
¶
x
i =1
k
j ÷
øø
è k =m-s +1 è
r
r
¶f ( x 0 ) s
¶ji ( x 0 )
(3.30)
=
+ å li
= 0,
¶x j
¶
x
i =1
j
где j = 1, m - s . Объединяя формулы (3.27) и (3.30), получаем
r
¶F ( x 0 )
= 0 , j = 1, m ,
¶x j
r
т.е. точка x 0 – критическая точка функции F ( x1 ,..., xm ) .
З а м е ч а н и е . Функция F и числа l1 , l 2 , K , l s называются соответственно функцией Лагранжа и множителями Лагранжа.
88

15.

Теорема 3.7 (достаточное условие локального относительного экстремума). Пусть A Ì ¡ m – открытое множество, на котором
заданы непрерывно дифференцируемые функции f и ji , i = 1, s ,
r
причем s < m . Пусть далее x 0 – критическая точка функции Лаs
гранжа F = f + å l i ji для некоторого набора действительных чиi =1
сел l i , i = 1, s , удовлетворяющая уравнениям связи (3.24) и матрица
s m
æ ¶ji ö
имеет ранг s в этой точке. Тогда, если квадратичная форçç
÷÷
¶
x
è j øi =1 j =1
m m
æ ¶2 F ö
ма с матрицей ç
является положительно (отрицательно)
ç ¶x ¶x ÷÷
è i j øi =1 j =1
r
определенной с учетом уравнений связи, то x 0 – точка относительного локального минимума (максимума) для f ..:
r
Вопрос о наличии в точке x 0 относительного экстремума заr r
r
висит от знака разности f ( x 0 + a ) - f ( x 0 ) при достаточно малом
r
векторе a с той лишь существенной оговоркой, что и точка
r r
x 0 + a Î A удовлетворяет уравнениям связи (3.24). Так как уравнения связи справедливы и для самого экстремума, то
r r
r
r r
r
f ( x0 + a ) - f ( x0 ) = F ( x0 + a ) - F ( x0 ) .
r
На основании формулы Тейлора в точке x 0 для функции Лагранжа F ( x1 ,..., xm ) можно записать
r0
2
m
r0 r
r0
1 m ¶ F (x )
(3.31)
F (x + a) - F (x ) = å
ai a j + å a ij ai a j ,
2 i , j =1 ¶xi ¶x j
i , j =1
r r
где aij ® 0 при a ® 0 .
Будем для определенности считать, что
¶ ( j1 ,K , js ) r 0
( x ) ¹ 0.
¶ ( xm-s +1 ,K , xm )
Тогда ограничения
ji ( x1 ,K , xm ) = 0 , i = 1, s , ( x1 ,K , xm ) Î A ,
согласно теореме 3.3, можно разрешить относительно переменных
xm-s +1 ,K , xm как функций от x1 ,K , xm- s в некоторой окрестности точки ( x10 ,K , xm0 -s ) .
89

16.

Перейдем теперь в выражении (3.31) от приращений a1 ,..., am к
дифференциалам dx1 ,..., dxm , при этом если продифференцировать
уравнения связи, то дифференциалы зависимых переменных
dxm-s+1 ,K , dxm линейно выразятся через дифференциалы независимых
переменных dx1 ,K , dxm-s . Таким образом, мы перейдем к квадратичной
форме дифференциалов dx1 ,K , dxm-s , причем, если она будет положительно определенной, то
r r
r
f ( x0 + a ) - f ( x0 ) > 0
r
и x 0 – точка относительного минимума, а если отрицательно определенной, то
r r
r
f ( x0 + a ) - f ( x0 ) < 0
r
и x0 – точка относительного максимума.
З а м е ч а н и е . Одним из способов нахождения условного экстремума функции f : A ® ¡ при условиях связи (3.24) является метод
Лагранжа, суть которого заключается в следующем. Составляют
s
r
r
r
функцию Лагранжа F ( x ) = f ( x ) + å l i ji ( x ) и определяют все криi =1
тические точки ( x ,K , x ,..., x ) этой функции из системы m + s
уравнений
ì ji ( x1 ,..., xm ) = 0, i = 1, 2,..., s;
ï
í ¶F
ï ¶x ( x1 ,..., xm ) = 0, i = 1, 2,..., m
î i
относительно m + s неизвестных x1 , x2 ,..., xm , l1 , l 2 ,..., l s . Далее во
всех полученных точках исследуют второй дифференциал функции
Лагранжа с учетом заданных условий связи: сначала его вычисляют в
точке ( x10 ,K , xm0 -s ,..., xm0 ) так, как если бы все аргументы были
0
1
0
m-s
0
m
x1 , x2 ,..., xm независимыми переменными, а затем dxm-s+1 ,K , dxm в полученном выражении заменяются линейными функциями dx1 ,K , dxm-s
в точке ( x10 ,K , xm0 -s ) согласно уравнениям связи. Если выражение d 2 F
в рассматриваемой точке является знакоопределенной квадратичной
формой, то эта точка является точкой относительного экстремума
функции f . Особо отметим, что без учета условий связи выражение
d 2 F в точке условного экстремума в общем случае может быть знакопеременной квадратичной формой.
90

17.

П р и м е р 3.7. Исследуем на условный экстремум методом Лагранжа функцию u = xyz при условиях связи
x2 + y 2 + z 2 = 6 , x + y + z = 0 .
Составим функцию Лагранжа
F ( x, y, z ) = xyz + l1 ( x 2 + y 2 + z 2 - 6 ) + l 2 ( x + y + z )
и рассмотрим систему уравнений
ì 2l1 ( x - y ) + z ( y - x ) = 0,
ì Fx¢ = yz + 2l1 x + l 2 = 0,
ï
ï F ¢ = xz + 2l y + l = 0,
1
2
y
ïï 2l1 ( y - z ) + x ( z - y ) = 0,
ïï
í Fz¢ = xy + 2l1 z + l 2 = 0, Þ í 2l1 ( z - x ) + y ( x - z ) = 0, Û
ï
ï
x 2 + y 2 + z 2 = 6,
x 2 + y 2 + z 2 = 6,
ï
ï
x + y + z = 0.
x + y + z = 0.
ïî
îï
ì 2l1 = z Ú x = y,
ï 2l = x Ú y = z ,
ïï 1
Û í 2l1 = y Ú z = x,
ï x 2 + y 2 + z 2 = 6,
ï
ïî x + y + z = 0.
Данная система распадается на 3 системы уравнений:
ì z = x = 2l1 ,
ì x = y = 2l1 ,
ì y = z = 2l1 ,
ï 2
ï
ï 2
2
2
2
2
2
2
2
í x + y + z = 6, или í x + y + z = 6, или í x + y + z = 6,
ï x + y + z = 0.
ï x + y + z = 0.
ï x + y + z = 0.
î
î
î
Таким образом, функция имеет 6 критических точек:
y
1) z = x = - = 2l1 = ±1 – точки: M 1 (1, -2,1) , M 2 ( -1, 2, -1) ;
2
z
2) x = y = - = 2l1 = ±1 – точки: M 3 (1,1, -2 ) , M 4 ( -1, -1, 2 ) ;
2
x
3) y = z = - = 2l1 = ±1 – точки: M 5 ( -2,1,1) , M 6 ( 2, -1, -1) .
2
Вычислим в каждой критической точке второй дифференциал
функции Лагранжа:
d 2 F = 2 ( zdxdy + ydxdz + xdydz ) + 2l1 ( dx 2 + dy 2 + dz 2 ) . (3.32)
Для определения знака второго дифференциала продифференцируем уравнения связи:
xdx + ydy + zdz = 0 , dx + dy + dz = 0 .
(3.33)
91

18.

Подставляя значения x, y, z , l в уравнения (3.32), (3.33), для точки M 1 (1, -2,1) получим
dx - 2dy + dz = 0 , dx + dy + dz = 0 .
Следовательно,
dx = - dz , dy = 0 , d 2 F = 6dx 2 > 0 .
Таким образом, в точке M 1 функция достигает минимального
значения u = -2 .
Поступая аналогично с остальными точками, окончательно получим, что в точках M 1 , M 3 , M 5 функция имеет минимум u = -2 , а в
точках M 2 , M 4 , M 6 – максимум u = 2 .
П р и м е р 3.8. Исследуем на условный экстремум функцию
u = xy 2 z 3 при условии связи x + 2 y + 3z = 6 ( x > 0 , y > 0 , z > 0 ).
Способ 1. Метод исключения. Выразив x из уравнения связи и
подставив в функцию u = xy 2 z 3 , получим функцию двух переменных
g ( y, z ) = ( 6 - 2 y - 3z ) y 2 z 3 = 6 y 2 z 3 - 2 y 3 z 3 - 3 y 2 z 4 ,
локальный экстремум которой совпадает с условным экстремумом
исходной функции.
Найдем локальный экстремум функции g ( y, z ) :
ì g ¢y = -2 y 2 z 3 + 2 ( 6 - 2 y - 3z ) yz 3 = 0,
ì - y - z + 2 = 0,
ï
2 3
2 2
¢
g
=
3
y
z
+
3
6
2
y
3
z
y
z
=
0,
Û
Û y = z = 1.
(
)
í
í z
2
z
y
+
3
=
0.
î
ï
x > 0, y > 0, z > 0.
î
Для нахождения второго дифференциала функции вычислим в
точке (1,1) все производные второго порядка.
g ¢¢y 2
g ¢¢z 2
g ¢¢yz
Тогда
d2g
(1,1)
(1,1)
(1,1)
= (12 z 3 - 12 yz 3 - 6 z 4 )
(1,1)
= ( 36 y 2 z - 12 y 3 z - 36 y 2 z 2 )
= -6 ,
(1,1)
= ( 36 yz 2 - 18 y 2 z 2 - 24 yz 3 )
(1,1)
= -12 ,
= -6 .
= -6dy 2 - 12dz 2 - 12dydz = -6 ( dy + dz ) - 6dz 2 < 0 ,
2
(1,1)
следовательно, функция g ( y, z ) имеет локальный максимум в точке
y = 1, z = 1 , а значит, функция u = xy 2 z 3 имеет условный максимум в
точке x = 1, y = 1, z = 1 (значение x находим из уравнения связи).
92

19.

Способ 2. Метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
F ( x, y, z ) = xy 2 z 3 + l ( x + 2 y + 3 z - 6 ) .
Найдем критические точки функции Лагранжа:
ì Fx¢ = y 2 z 3 + l = 0,
ì l = - y2 z3 ,
ì xyz 3 - y 2 z 3 = 0,
ï
ï
ï 2 2
3
3
3
ï Fy¢ = 2 xyz + 2l = 0,
ï l = - xyz ,
ï xy z - xyz = 0,
Û í
Û í 2 2
í
2 2
2 2
2 3
¢
F
=
3
xy
z
+
3
l
=
0,
l
=
xy
z
,
ï z
ï
ï xy z - y z = 0,
ïî x + 2 y + 3z = 6.
ïî x + 2 y + 3 z = 6.
ïî x + 2 y + 3z = 6.
Так как по условию x > 0 , y > 0 , z > 0 , то система имеет единственное решение x = y = z = 1. Следовательно, в точке (1, 1,1) возможен условный экстремум функции u при условии связи
x + 2 y + 3z = 6 , причем соответствующий множитель Лагранжа равен
-1 .
Найдем второй дифференциал функции Лагранжа:
d 2 F = 2 xz 3 dy 2 + 6 xyzdz 2 + 2 ( 2 yz 3 dxdy + 6 xyz 2 dydz + 3 y 2 z 2 dxdz ) ,
d 2F
(1,1,1)
= 2dy 2 + 6dz 2 + 4dxdy + 12dydz + 6dxdz .
Дифференцируя уравнение связи, получим
dx + 2dy + 3dz = 0 ,
следовательно,
d 2F
(1,1,1)
= 2dy 2 + 6dz 2 + 4 ( -2dy - 3dz ) dy + 12dydz + 6 ( -2dy - 3dz ) dz =
= -6dy 2 - 12dz 2 - 12dzdy = -6 ( dy + dz ) - 6dz 2 .
2
Так как d 2 F является отрицательно определенной квадратичной
формой, то точка (1, 1,1) есть точка условного максимума функции
u = xy 2 z 3 при условии связи x + 2 y + 3z = 6 .
Способ 3.* Вместо исходной функции u ( x, y, z ) = xy 2 z 3 будем
исследовать функцию
v ( x, y, z ) = ln u = ln x + 2ln y + 3ln z .
В силу монотонности логарифма экстремумы функций будут
совпадать.
Для нахождения условного экстремума опять воспользуемся методом Лагранжа:
F ( x, y, z ) = ln x + 2ln y + 3ln z + l ( x + 2 y + 3z - 6 ) ,
93

20.

ì Fx¢ = 1/ x + l = 0,
ï F ¢ = 2 / y + 2l = 0,
ï y
Û x = y = z = 1.
í
¢
F
z
=
3/
+
3
l
=
0,
ï y
ïî x + 2 y + 3z = 6.
dx 2 2dy 2 3dz 2
2
Второй дифференциал d F = - 2 - 2 - 2 является отриx
y
z
цательно определенной квадратичной формой, поэтому точка (1, 1,1)
есть точка условного максимума функции u = xy 2 z 3 при условии
связи x + 2 y + 3z = 6 .
П р и м е р 3.9. Исследуем на условный экстремум функцию u = xy
при условии связи x 2 + y 2 = 2 .
Способ 1. Метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
F ( x, y ) = xy + l ( x 2 + y 2 - 2 ) .
Найдем критические точки функции Лагранжа:
ìì l = 1, ì l = -1,
ì Fx¢ = y + 2lx = 0,
y x
ì
Úí
ï
ïl = = ,
ïí
¢
x
y
=
+
l
=
Û
Û
2
0,
F
x
y
y
=
x
,
í y
í
íî
î y = - x,
ï x 2 + y 2 = 2.
ï x 2 + y 2 = 2.
ï
x 2 + y 2 = 2.
î
î
î
Данная система имеет 2 решения при l = 1 – M 1 (1,1) , M 2 ( -1, -1) , и
2 решения при l = -1 – M 3 ( -1,1) , M 4 (1, -1) .
Вычислим в каждой из 4 критических точек второй дифференциал функции Лагранжа. Дифференцируя уравнение связи, получим
2dx + 2dy = 0 , следовательно,
d 2 F = dxdy + l ( dx 2 + dy 2 ) = ( 2l - 1) dx 2 .
Таким образом, точки M 1 (1,1) и M 2 ( -1, -1) являются точками
условного минимума функции, а точки M 3 ( -1,1) и M 4 (1, -1) – точками условного максимума.
Способ 2. Метод исключения. Перейдем в полярные координаты,
тогда исходная функция примет вид
r 2 sin 2j
2
u ( r , j ) = r cos j sin j =
, 0 £ j < 2p ,
2
а уравнение связи r = 2 . Таким образом, условные экстремумы
функции u ( r , j ) будут совпадать с локальными экстремумами
94

21.

функции g ( j ) = sin 2j. Очевидно, что функция g имеет локальные
p
5p
3p
и минимумы в точках j3 = ,
максимумы в точках j1 = , j2 =
4
4
4
7p
j4 =
. Переходя обратно в декартовы координаты, получим коор4
динаты соответствующих точек для исходной функции: M 1 (1,1) и
M 2 ( -1, -1) – точки условного максимума, M 3 ( -1,1) и M 4 (1, -1) –
точки условного минимума.
П р и м е р 3.10. Исследуем на условный экстремум методом Лагранжа функцию u = ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 при заданном условии связи:
1) x - y = 0 ,
2) x 2 - 2 xy + y 2 = 0 .
1) Составим функцию Лагранжа:
F ( x, y ) = ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 + l ( x - y ) .
Координаты x, y, l критической точки функции L( x, y, l) должны удовлетворять системе
ì2( x - 1) + l = 0,
ï
í2( y - 1) - l = 0,
ï
î x - y = 0.
Решая эту систему, находим x = y = 1, l = 0 . Следовательно, в
точке M 0 = (1, 1) возможен условный экстремум функции u при
условии связи x - y = 0 , причем соответствующий множитель Лагранжа равен 0 .
Так как d 2 F = 2dx 2 + 2dy 2 – положительно определенная квадратичная форма, то точка M 0 = (1,1) есть точка условного минимума
функции u при условии связи x - y = 0 .
2) Очевидно, что данное условие связи эквивалентно предыдущему, однако метод Лагранжа в этом случае неприменим. Действительно, ранг матрицы
æ ¶j ¶j ö
ç ¶x , ¶y ÷ = ( 2( x - y ), - 2( x - y ) ) ,
è
ø
где j( x, y ) = x 2 - 2 xy + y 2 на множестве точек x = y , удовлетворяющих условию связи, не равен единице, следовательно, метод Лагранжа применять нельзя. Сначала необходимо преобразовать условие x 2 - 2 xy + y 2 = 0 к виду x - y = 0 и только потом определить относительный экстремум методом Лагранжа.
95

22.

Выделение точек условного экстремума является одним из этапов решения задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f в области D . Если эти значения функция принимает во внутренних точках рассматриваемого множества, то эти
точки являются точками обычного (внутреннего) экстремума функции f . Если же наибольшее или наименьшее значение достигается
на границе, то соответствующая точка – точка условного (граничного) экстремума функции f при условии, что рассматриваются только граничные точки.
Таким образом, в общем случае для нахождения наибольшего и
наименьшего значений функции f в области D необходимо сначала найти точки обычного экстремума функции и выбрать из них те,
которые принадлежат области D , а затем решить аналогичную задачу в области ¶D . После этого из всех полученных значений необходимо выбрать наибольшее и наименьшее.
Заметим, что в случае незамкнутого множества D часто требуется найти sup и inf функции. При решении такой задачи следует
воспользоваться следующей леммой.
Лемма 3.7. Если непрерывная в области D функция u ( x, y, z )
принимает в некоторой точке ( x0 , y0 , z0 ) границы ¶D области D
значение u0 такое, что
" ( x, y , z ) Î D u0 ³ u ( x, y , z ) ,
то это значение является супремумом данной функции в области D .
Так как функция u ( x, y, z ) непрерывна в области D , то
"e > 0 $d > 0 " ( x1 , y1 , z1 ) Î D
r ( ( x0 , y0 , z0 ) , ( x1 , y1 , z1 ) ) < d Þ u ( x0 , y0 , z0 ) - u ( x1 , y1 , z1 ) < e .
С учетом выбора точки ( x0 , y0 , z0 ) последнее неравенство можно переписать в виде 0 < u ( x0 , y0 , z0 ) - u ( x1 , y1 , z1 ) < e . Точка ( x0 , y0 , z0 ) является граничной точкой области D , следовательно, в любой её d окрестности существует точка ( x1 , y1 , z1 ) Î D . Отсюда получаем, что
"e > 0 $( x1 , y1 , z1 ) Î D : u ( x0 , y0 , z0 ) - e < u ( x1 , y1 , z1 ) ,
т.е. u0 = sup u ( x, y, z ) .
( x , y , z )ÎD
З а м е ч а н и е . Аналогичное утверждение можно сформулировать
и для инфимума функции u ( x, y, z ) в области D .
96

23.

П р и м е р 3.11. Найдем наибольшее и наименьшее значения (если
они существуют), а также sup и inf функции
u ( x, y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2
в области x 2 + y 2 + z 2 < 100 .
Так как функция u ( x, y, z ) непрерывна в рассматриваемой области, то согласно лемме 3.7, чтобы найти супремум и инфимум
функции u ( x, y, z ) в области x 2 + y 2 + z 2 < 100 , следует найти точки
возможного экстремума этой функции внутри области и на её границе и выбрать соответственно максимальное и минимальное значения функции в этих точках. Если точка супремума (или инфимума) лежит внутри области, то значение функции в этой точке является её наибольшим (или наименьшим) значением.
Определим сначала критические точки внутри области. Их координаты должны удовлетворять следующей системе:
ìu ¢x = 2 x = 0,
ï
íu ¢y = 4 y = 0,
ï ¢
îu z = 6 z = 0.
Отсюда видно, что внутри области есть только одна возможная
экстремальная точка M 1 ( 0,0,0 ) .
Возможную экстремальную точку на границе ищем как точку
условного экстремума функции u ( x, y, z ) = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 при условии x 2 + y 2 + z 2 = 100 методом Лагранжа (все условия теоремы 3.7
выполнены). Функция Лагранжа имеет вид:
F ( x, y, z, l ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + l ( x 2 + y 2 + z 2 - 100 ) .
Координаты критической точки функции L ( x, y, z , l ) должны
удовлетворять системе
ì Fx¢ = 2 x + 2 xl = 0,
ï F ¢ = 4 y + 2 yl = 0,
ï y
í
ï Fz¢ = 6 z + 2 zl = 0,
ï x 2 + y 2 + z 2 - 100 = 0.
î
Отсюда получаем точки возможного экстремума на эллипсоиде
2
x + y 2 + z 2 = 100 :
M 2 (10,0,0 ) , M 3 ( 0,10,0 ) , M 4 ( 0,0,10 ) .
97

24.

Вычислим значения функции u ( x, y, z ) в полученных точках:
u ( M 1 ) = 0 , u ( M 2 ) = 100 , u ( M 3 ) = 200 , u ( M 4 ) = 300 .
Таким образом,
inf
u ( x, y, z ) = 2 min
2
2
2
2
2
x + y + z <100
x + y + z <100
sup
x 2 + y 2 + z 2 <100
а 2 max
2
2
x + y + z <100
u ( x, y , z ) = 0 ,
u ( x, y, z ) = 300 ,
u ( x, y, z ) не существует.
П р и м е р 3.12. Найдем наибольшее и наименьшее значения (если
они существуют), а также sup и inf функции u ( x, y ) = 3 x 2 + y 2 в области G , определяемой следующими неравенствами:
x2 + y 2 £ 4 , x + y > 1, x ³ 0 , y ³ 0 .
Функция u ( x, y ) = 3 x 2 + y 2 непрерывна в области G , поэтому
необходимо сначала найти все внутренние и граничные критические точки, а затем выбрать максимальное и минимальное значения функции в этих точках (аналогично предыдущему примеру).
Координаты внутренних критических точек должны удовлетворять следующей системе:
ìu ¢x = 6 x = 0,
í ¢
îu y = 2 y = 0,
но точка ( 0,0 ) не принадлежит области G , поэтому значение в ней
не рассматривается.
На границе x = 0 , y Î [1, 2] функция u ( x, y ) является функцией
одной переменной u ( x, y ) = g ( y ) = y 2 . Критическая точка этой
функции y = 0 не принадлежит рассматриваемому множеству, потому также исключается из рассмотрения.
Аналогично получаем, что на границе y = 0 , x Î [ 0,1] функция
u ( x, y ) = g ( x ) = 3 x 2 не имеет критических точек.
На границе x + y = 1 , x Î [1, 2] будем искать точки возможного
уловного экстремума методом исключения:
u ( x, y ) = g ( x ) = 3x 2 + (1 - x ) , g ¢ ( x ) = 6 x - 2 (1 - x ) = 8 x - 2 .
2
æ1 3ö
Отсюда находим точку M 1 ç , ÷ .
è4 4ø
98

25.

На границе x 2 + y 2 = 4 , x Î [ 0, 2] найдем точки возможного
условного экстремума методом Лагранжа:
F = 3x 2 + y 2 + l ( x 2 + y 2 - 4 ) ,
ì Fx¢ = 6 x + 2 xl = 0,
ï
í Fy¢ = 3 y + 2 yl = 0,
ï 2
2
î x + y - 4 = 0.
Эта система имеет два решения M 2 ( 0, 2 ) , M 3 ( 2,0 ) , которые
также принадлежат границе G .
Вычислим значения функции u ( x, y, z ) в полученных точках, а
также в оставшихся угловых точках M 4 (1,0 ) и M 5 ( 0,1) :
3
, u ( M 2 ) = 4 , u ( M 3 ) = 12 , u ( M 4 ) = 3 , u ( M 5 ) = 1 .
4
Таким образом,
3
inf u ( x, y ) = ,
( x , y )ÎG
4
u ( M1 ) =
sup u ( x, y ) = max u ( x, y ) = u ( 2,0 ) = 12 ,
( x , y )ÎG
( x , y )ÎG
а min u ( x, y ) не существует.
( x , y )ÎG
П р и м е р 3.13. Найдем наибольшее и наименьшее значения
функции u = 3z - y - 2 x в замкнутой области
D = {( x, y, z ) x + y ³ 2, 3x + y £ 6, 0 £ z £ 3, x ³ 0} .
Функция u = 3z - y - 2 x непрерывна на рассматриваемом замкнутом ограниченном множестве D , следовательно, принимает в
некоторых точках этого множества наибольшее и наименьшее значения.
Если эти точки лежат внутри области D , то их координаты
должны удовлетворять системе
ìu ¢x = -2 = 0,
ï
íu ¢y = -1 = 0,
ï ¢
îu z = 3 = 0.
99

26.

Отсюда видно, что внутри D нет ни одной возможной экстремальной точки. Следовательно, максимальное и минимальное значения
функции u достигаются на границе ¶D = T1 È T2 È T3 È T4 È T5 , где
T1 = {( x, y, z ) 3x + y = 6, 0 £ y £ 6,0 £ z £ 3} ,
T2 = {( x, y, z ) x + y = 2, 0 £ y £ 2, 0 £ z £ 3} ,
T3 = {( x, y, z ) x = 0, 2 £ y £ 6, 0 £ z £ 3} ,
T4 = {( x, y, z ) z = 0, 3 x + y £ 6, x + y ³ 2, x ³ 0} ,
T5 = {( x, y, z ) z = 3, 3x + y £ 6, x + y ³ 2, x ³ 0}.
Каждый участок Ti границы ¶D является замкнутым ограниченным множеством и, значит, на этом участке непрерывная функция u
достигает своего минимального и максимального значений.
Найдем максимальное и минимальное значения функции u на
каждом участке Ti , а затем выберем из них наибольшее и наименьшее. Полученные таким образом значения и будут наибольшим и
наименьшим значениями функции u в замкнутой области D .
Возможные экстремальные точки функции u внутри участка T1
ищем как точки условного экстремума функции u при условии связи 3x + y = 6 . Выражая из условия связи x = ( 6 - y ) / 3 и подставляя в
функцию u , получаем u1 ( y, z ) = 3z - y / 3 - 4 . Тогда точки условного
экстремума функции u при условии связи 3x + y = 6 должны удовлетворять системе
ìu ¢y = -1/ 3 = 0,
í
îu ¢z = 3 = 0.
Отсюда видно, что функция u не имеет условного экстремума
при условии связи 3x + y = 6 . Это значит, что функция u достигает
наибольшего
и
наименьшего
значений
на
границе
1
1
1
1
¶T1 = L1 È L2 È L3 È L4 , где
L11 = {( x, y, z ) 3 x + y = 6, 0 £ y £ 6, z = 0} ,
L12 = {( x, y, z ) 3 x + y = 6, y = 6, 0 £ z £ 3} ,
L13 = {( x, y, z ) 3x + y = 6, y = 0, 0 £ z £ 3} ,
L14 = {( x, y, z ) 3 x + y = 6,0 £ y £ 6, z = 3}.
Поскольку каждый из участков L1i границы ¶T1 является замкнутым ограниченным множеством, то непрерывная на нем функция
100

27.

u1 (u , z ) достигает своего минимального и максимального значений.
Найдем максимальное и минимальное значения функции u1 (u , z ) на
каждом участке L1i , а затем выберем из этих значений наибольшее и
наименьшее.
Возможные экстремальные точки функции u1 (u , z ) внутри участка L11 ищем как точки условного экстремума при условии связи
z = 0 . Подставляя это условие в функцию u1 (u , z ) , получим
u11 ( y ) = - y / 3 - 4 . Тогда точки условного экстремума функции
u1 (u , z ) при условии связи z = 0 должны удовлетворять уравнению
( u )¢ = -1/ 3 = 0 .
1
1
Отсюда видно, что функция u1 (u , z ) не имеет условного экстремума при условии связи z = 0 . Это значит, что эта функция достигает своего максимального и минимального значений на границе
участка L11 , т.е.
min 1 u1 ( y, z ) = u11 (6) = u1 (6,0) = -6 ,
( y , z )ÎL1
max1 u1 ( y, z ) = u11 (0) = u1 (0,0) = -4 .
( y , z )ÎL1
Действуя аналогично на остальных участках L1i границы ¶T1 , получим
min1 u1 ( y, z ) = u1 (6,0) = -6,
max1 u1 ( y, z ) = u1 (6,3) = 3,
( y , z )ÎL2
( y , z )ÎL2
min u1 ( y, z ) = u1 (0,0) = -4,
( y , z )ÎL13
min u1 ( y, z ) = u1 (6,3) = 3,
( y , z )ÎL14
max u1 ( y, z ) = u1 (0,3) = 5,
( y , z )ÎL13
max u1 ( y, z ) = u1 (0,3) = 5.
( y , z )ÎL14
Таким образом,
min u ( x, y, z ) = u1 (6,0) = u (0,6,0) = -6,
( x , y , z )ÎT1
max u ( x, y, z ) = u1 (0,3) = u (2, 0,3) = 5.
( x , y , z )ÎT1
Поступая аналогично на остальных участках Ti границы ¶D , получим
min u ( x, y, z ) = u (2,0,0) = -4,
max u ( x, y, z ) = u (0, 2,3) = 7,
( x , y , z )ÎT2
min u ( x, y, z ) = u (0,6,0) = -6,
( x , y , z )ÎT3
min u ( x, y, z ) = u (0,6,0) = -6,
( x , y , z )ÎT4
( x , y , z )ÎT2
max u ( x, y, z ) = u (0, 2,3) = 7,
( x , y , z )ÎT3
max u ( x, y, z ) = u (0, 2,0) = -2,
( x , y , z )ÎT4
101

28.

min u ( x, y, z ) = u (0, 6,3) = 3,
( x , y , z )ÎT5
max u ( x, y, z ) = u (0, 2,3) = 7.
( x , y , z )ÎT5
Отсюда
min u ( x, y, z ) = u (0,6,0) = -6, max u ( x, y, z ) = u (0, 2,3) = 7.
( x , y , z )ÎD
( x , y , z )ÎD
П р и м е р 3.14.* Найдем наибольшее и наименьшее значения функции u ( x, y ) = x 2 - xy + y 2 в области x + y £ 1 .
Функция u ( x, y ) = x 2 - xy + y 2 непрерывна на рассматриваемом замкнутом ограниченном множестве, следовательно, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Чтобы найти эти
значения, можно применить метод Лагранжа, однако в данном примере функция F ( x, y ) = x + y - 1 не является дифференцируемой,
поэтому границу области придется разбить на четыре участка:
é x + y - 1 = 0, x > 0, y > 0,
ê x - y - 1 = 0, x > 0, y < 0,
ê
ê y - x - 1 = 0, x < 0, y > 0,
ê
ë x + y + 1 = 0, x < 0, y < 0,
каждый из которых задается дифференцируемой функцией, и на
каждом из этих участков определять точки возможного экстремума.
Более того, придется включить в точки возможного экстремума
точки, являющиеся граничными для данных участков. Очевидно,
что это решение будет очень громоздким.
Решим поставленную задачу другим способом, а именно, оценим
значения функции u ( x, y ) в рассматриваемой области.
2
ì
yö 3 2
æ
2
2
ïu ( x, y ) = x - xy + y = ç x - ÷ + y ³ 0,
2ø 4
è
í
ïu 0, 0 = 0.
î ( )
Учитывая, что точка ( 0,0 ) принадлежит рассматриваемой области, получаем min u ( x, y ) = 0 .
x + y £1
Аналогично
2
2
2
ïìu ( x, y ) = x - xy + y = ( x + y ) - xy - 2 xy £ 1 - xy £ 1,
í
ïîu (1,0 ) = 1.
Учитывая, что точка (1,0 ) принадлежит рассматриваемой области, получаем max u ( x, y ) = 1 .
x + y £1
102

29.

3.5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЯХ
Данный раздел посвящен формальному описанию процесса замены переменных, поэтому здесь мы не будем отвлекаться на проверку всех условий, при которых производимые преобразования законны.
Как правило, замена переменных обычно мотивируется либо
особым интересом, который представляют в рассматриваемом вопросе новые переменные, либо тем упрощением, которое эта замена
вносит в исходное выражение.
3.5.1. Функции одной переменной
Пусть дано некоторое выражение
æ
ö
dy d 2 y
A = F ç x, y, , 2 ,K ÷ ,
dx dx
è
ø
(3.34)
содержащее независимую переменную x , функцию y ( x ) и ее производные до некоторого порядка. Требуется перейти к новым переменным – независимой переменной t и функции от нее u ( t ) .
В общем случае переменные x, y связаны с переменными t , u
уравнениями
ìF
ï ( x, y, t , u ) = 0,
(3.35)
í
ïîY ( x, y, t , u ) = 0,
которые называются формулами замены переменных. Будем считать, что система (3.35) определяет (в некоторой области) дифференцируемые достаточное число раз неявные функции x = f ( t , u ) ,
y = g ( t , u ) . Так как u есть функция аргумента t , то
x = f ( t , u ( t ) ) = x ( t ) и y = g ( t , u ( t ) ) = y ( t ) – сложные функции аргумента t .
Для обозначения производных функции y ( x ) будем использовать символы y ¢, y¢¢,... , а для производных остальных функций будем явно указывать переменную дифференцирования. При этом через xt¢, yt¢ будем обозначать «полные» производные от x и y по t ,
т.е. с учетом зависимости u ( t ) .
103

30.

Чтобы перейти в выражении (3.34) к переменным t , u , необходимо выразить через эти переменные производные y ¢, y¢¢,... . Согласно теореме о производной сложной функции
y¢
y¢ = t .
(3.36)
xt¢
Производные xt¢, yt¢ найдем как решение системы уравнений, полученных дифференцированием формул (3.35) по переменной t :
ìïF¢x xt¢ + F¢y yt¢ + F¢t + F¢u ut¢ = 0,
(3.37)
í
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
Y
+
Y
+
Y
+
Y
=
0.
x
y
u
ïî x t
y t
t
u t
Чтобы найти выражения для производных функции y ( x ) более
высоких порядков, можно использовать формулу
d
1 d
=
.
(3.38)
dx xt¢ dt
Тогда, например, для второй производной получим
1 d æ yt¢ ö ytt¢¢ xt¢ - yt¢xtt¢¢
.
y ¢¢ =
ç ÷=
3
xt¢ dt è xt¢ ø
¢
x
( t)
З а м е ч а н и е 1 . Необходимые производные второго и выше порядков функций x ( t ) и y ( t ) удобно получать дифференцированием
производных предыдущего порядка.
З а м е ч а н и е 2 . Если уравнения (3.35) явно разрешены относительно старых переменных x и y , то, очевидно,
xt¢ = f t¢ + fu¢ × ut¢ , yt¢ = gt¢ + gu¢ × ut¢ ,
где x = f ( t , u ) , y = g ( t , u ) .
П р и м е р 3.15. Введя новую независимую переменную t , преобразуем уравнение x 2 y¢¢ + xy ¢ + y = 0 , если x = et .
Согласно формуле (3.36) для производной параметрически заданной функции, y ¢ = yt¢e -t . Чтобы получить выражение для y ¢¢ ,
применим соотношение (3.38) к полученному выше равенству:
yt¢e- t )¢
(
t
y ¢¢ =
= ( ytt¢¢ - yt¢ ) e -2t .
xt¢
Подставляя данные формулы в исходное уравнение, получим
e2t ( ytt¢¢ - yt¢ ) e-2t + et yt¢e - t + y = 0 или ytt¢¢ + y = 0 .
104

31.

П р и м е р 3.16. Введя новые переменные t и u , где u = u ( t ) , преобразуем уравнение x3 y ¢¢ + xyy¢ - y 2 = 0 , если x = et , y = uet .
Согласно формуле (3.36) для производной параметрически заданной функции
t
yt¢ ( ut¢ + u ) e
y¢ = =
= ut¢ + u .
xt¢
et
Чтобы получить выражение для y ¢¢ , применим соотношение (3.38) к
полученному выше равенству:
ut¢ + u )¢t
(
y ¢¢ =
= ( utt¢¢ + ut¢ ) e -t .
xt¢
Подставляя данные формулы в исходное уравнение, получим
e3t ( utt¢¢ + ut¢ ) e- t + ue 2t ( ut¢ + u ) - u 2 e2t = 0 или utt¢¢ + (1 + u ) ut¢ = 0 .
П р и м е р 3.17. Введя новые переменные t и u , где u = u ( t ) , пре2
æ yö
образуем уравнение xyy¢¢ - x ( y ¢ ) + yy¢ = 0 , если t = y, u = ln ç ÷ .
èxø
Система (3.37), полученная путем дифференцирования уравнений связи по переменной t , имеет вид
ì1 = yt¢,
ï
í ¢ yt¢ xt¢
ïut = y - x .
î
Решая её, находим
x
xt¢ = - xut¢,
yt¢ = 1 .
y
Согласно формуле (3.36)
y¢
y
y¢ = t =
.
xt¢ x (1 - yut¢ )
Чтобы получить выражение для y ¢¢ , применим соотношение
y ¢¢ x¢ - y¢x¢¢
y ¢¢ = tt t 3 t tt ,
( xt¢ )
выведенное ранее.
105

32.

В данном примере
ytt¢¢ = 0
æx
ö¢ x - xyut¢ - x æ
æx
ö ö
¢¢
¢
+
xtt¢¢ = ç - xut¢ ÷ =
xu
xu
ç
tt
t
çy
÷ ut¢ ÷ =
2
y
y
è
øt
è
ø ø
è
2x
2
= -utt¢¢ x - ut¢ + x ( ut¢ ) .
y
Таким образом,
æ
2x
2ö 3
¢¢
¢
¢
u
x
+
u
x
u
(
)
t
t
ç tt
÷y
y
è
ø .
y ¢¢ =
3
x3 (1 - yut¢ )
Подставляя выражения для y ¢, y¢¢ в исходное уравнение и производя необходимые преобразования, получим
utt¢¢ xy 4 + xy 3ut¢
= 0 или tutt¢¢ + ut¢ = 0 .
3
2
x (1 - yut¢ )
З а м е ч а н и е . Иногда формулы замены переменных можно преобразовать к более удобному виду. Так, если в последнем примере
исходные уравнения разрешить относительно старых переменных
x = et , y = uet , то выкладки, необходимые для решения поставленной задачи, несколько сократятся.
3.5.2. Функции многих переменных (замена независимых
переменных)
Для упрощения записи будем полагать, что независимых переменных всего две: старые x и y и новые u и v . Пусть дано некоторое выражение
¢¢ ,K) ,
A = F ( x, y, z , z ¢x , z ¢y , z ¢¢xx , z ¢¢yy , z xy
(3.39)
содержащее переменные x, y , функцию z и ее частные производные, а также задана система
ìF
ï ( x, y, u , v ) = 0,
(3.40)
í
ïîY ( x, y, u , v ) = 0,
определяющая (в некоторой области) дифференцируемые достаточное число раз неявные функции x = f ( u , v ) , y = g ( u, v ) . Требуется
преобразовать дифференциальное выражение (3.39) так, чтобы в него
106

33.

входили переменные u , v , функция z и ее частные производные соответствующих порядков по переменным u , v . При этом предполагается, что преобразования делаются в таких областях изменения переменных, что существуют обратные функции u = u ( x, y ) , v = v ( x, y ) ,
также являющиеся дифференцируемыми достаточное число раз.
При решении задач данного вида удобно использовать формулу
для производной сложной функции (1.11), записанную для функции
z ( x , y ) = z ( u ( x , y ) , v ( x, y ) ) :
z ¢x = zu¢ u ¢x + zv¢ v¢x ,
z ¢y = zu¢ u ¢y + zv¢ v¢y .
(3.41)
Производные более высоких порядков функции z ( x, y ) можно получить дифференцированием производных предыдущих порядков.
Так как в большинстве задач формулы замены (3.40) разрешены
относительно либо новых, либо старых переменных, рассмотрим
отдельно эти два случая. При этом при любом задании связи между
переменными будем пользоваться производными u ¢x , u ¢y , vx¢ , v¢y .
Уравнения связи разрешены относительно новых переменных.
Если система (3.40) имеет вид
ìïu = u ( x, y ) ,
(3.42)
í
=
v
v
x
,
y
,
( )
ïî
то необходимые частные производные функций u ( x, y ) , v ( x, y ) получают непосредственным дифференцированием уравнений (3.42).
Уравнения связи разрешены относительно старых переменных.
Если система (3.40) имеет вид
ìï x = f ( u, v ) ,
(3.43)
í
y
=
g
u
,
v
,
(
)
ïî
то первые частные производные функций u ( x, y ) , v ( x, y ) можно
легко найти из решения системы
ìdx = fu¢du + f v¢dv,
(3.44)
í
îdy = gu¢ du + g v¢ dv
относительно неизвестных du , dv , а именно
-1
æ u ¢x u ¢y ö æ fu¢
æ du ö æ f u¢ f v¢ ö æ dx ö
=
Þ
ç v¢ v ¢ ÷ = ç ¢
ç dv ÷ ç g ¢ g ¢ ÷ ç dy ÷
y ø
è ø è u
ø
v ø è
è gu
è x
107
-1
f v¢ ö
.
g v¢ ÷ø
(3.45)

34.

П р и м е р 3.18. Приняв u и v за новые независимые переменные,
преобразуем уравнение x 2 z ¢¢xx - 2 xz ¢¢xy + z ¢¢yy = 0 , если u = xe y , v = y .
Формулы замены переменных разрешены относительно новых
переменных, поэтому сразу выпишем выражения для частных производных (3.41):
z ¢x = zu¢ e y , z ¢y = zu¢ xe y + zv¢ .
Чтобы получить формулы для вторых частных производных
функции z ( x, y ) , продифференцируем эти выражения:
¢¢ e2 y ,
z ¢¢xx = zuu
¢¢ xe y + zuv
¢¢ ) e y ,
z ¢¢xy = zu¢ e y + ( zuu
¢¢ xe y + zuv
¢¢ ) xe y + xe y zu¢ + zuv
¢¢ xe y + zvv¢¢ .
z ¢¢yy = ( zuu
Используя полученные соотношения, преобразуем исходное
уравнение к следующему виду:
¢¢ - 2 xe y zu¢ - 2 x 2 e 2 y zuu
¢¢ - 2 xe y zuv
¢¢ +
x 2 e 2 y zuu
¢¢ + xe y zuv
¢¢ + xe y zu¢ + zvv¢¢ + xe y zuv
¢¢ = 0
+ x 2 e2 y zuu
или
zvv¢¢ = uzu¢ .
П р и м е р 3.19 (Переход к полярным координатам). Приняв r и j за
новые независимые переменные, преобразуем выражения
W1 = ( z ¢x ) + ( z ¢y ) , W2 = z ¢¢xx + z ¢¢yy ,
2
2
если x = r cos j, y = r sin j .
Формулы замены переменных разрешены относительно старых переменных, поэтому определим частные производные функций r ( x, y ) , j ( x, y ) из системы (3.44), т.е. продифференцируем
уравнения связи и выразим из полученной системы dr и dj:
-1
æ cos j sin j ö
ry¢ ö æ cos j - r sin j ö
=
= ç sin j cos j ÷ .
ç÷
j¢y ÷ø çè sin j r cos j ÷ø
è
r
r ø
Подставляя полученные выражения в формулы (3.41), получим
sin j
cos j
z ¢x = zr¢ cos j - zj¢
, z ¢y = zr¢ sin j + zj¢
.
r
r
æ rx¢
ç j¢
è x
108

35.

Дифференцируя данные равенства, находим выражения для вторых частных производных функции z ( x, y ) :
sin j
z ¢¢xx = ( z ¢x )¢ x = ( z ¢x )¢r cos j - ( z ¢x )¢j
=
r
2sin j cos j
2sin j cos j
sin 2 j
sin 2 j
¢¢
= zrr¢¢ cos j - zr¢¢j
+ zj¢
+ zjj
+ zr¢
,
r
r2
r2
r
cos j
=
z ¢¢yy = ( z ¢y )¢ = ( z ¢y )¢ sin j + ( z ¢y )¢
j
y
r
r
2
2sin j cos j
cos 2 j
2sin j cos j
cos 2 j
¢¢
= zrr¢¢ sin j + zr¢¢j
+ zjj
- zj¢
+ zr¢
.
r
r2
r2
r
Подставив полученные формулы в исходные выражения, получим
2
1
1
1
2
¢¢ + zr¢ .
W1 = ( zr¢ ) + 2 ( zj¢ ) ,
W2 = zrr¢¢ + 2 zjj
r
r
r
2
П р и м е р 3.20* (Переход к сферическим координатам). Приняв r , j,
y за новые независимые переменные, преобразуем выражения
W1 = ( u ¢x ) + ( u ¢y ) + ( u ¢z ) , W2 = u ¢¢xx + u ¢¢yy + u zz¢¢ ,
2
2
если
2
x = r cos j sin y , y = r sin j sin y , z = r cos y .
Выполним преобразование в два этапа. Сначала положим
x = r cos j , y = r sin j , оставляя z неизменным, а затем положим
z = r cos y , r = r sin y . В этом случае мы сможем воспользоваться
результатами предыдущего примера.
Итак,
2
2
2
1
2
2
2
W1 = ( u x¢ ) + ( u ¢y ) + ( u z¢ ) = ( ur¢ ) + ( u ¢z ) + 2 ( uj¢ ) ,
r
)
(
¢¢ + u zz¢¢ ) +
W2 = u ¢¢xx + u ¢¢yy + u zz¢¢ = ( urr
1
1
u ¢¢ + ur¢ .
2 jj
r
r
Далее,
( u¢ ) + ( u¢ ) = ( u¢ ) + r1 ( u¢ ) ,
2
r
2
2
2
z
r
¢¢ + u ¢¢zz = urr¢¢ +
urr
2
y
1
1
¢¢
u
+
ur¢ .
yy
r2
r
109

36.

Учитывая, что
ur¢ = ur¢ sin y + uy¢
cos y
,
r
окончательно получаем
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
¢
W1 = ( ur¢ ) + 2 ( uy¢ ) + 2 ( uj¢ ) = ( ur¢ ) + 2 ( uy¢ ) +
u
,
(
)
j
2
r
r
r
y
r
sin
(
)
W2 = urr¢¢ +
= urr¢¢ +
1
1
1
1
¢¢
¢
¢¢
u
+
u
+
u
+
ur¢ =
yy
r
jj
r2
r
r2
r
1
1
1
1æ
cos y ö
¢¢
¢
¢¢
¢
¢
u
+
u
+
u
+
u
sin
y
+
u
ç
÷=
yy
r
jj
r
y
r2
r
r2
rè
r ø
= urr¢¢ +
1
1
2
ctg y
u ¢¢ +
u ¢¢ + ur¢ + 2 uy¢ .
2 jj
2 yy
r
r
r
( r sin y )
3.5.3. Функции многих переменных (общий случай)
Ради простоты изложения по-прежнему ограничимся рассмотрением функций двух переменных. Пусть в выражении (3.39) необходимо перейти к новым переменным u , v, w , где u , v – независимые
переменные, а w – функция аргументов u , v , причем переменные
x, y, z и u , v, w связаны уравнениями
ìF ( x, y, z , u , v, w ) = 0,
ï
(3.46)
íY ( x, y, z , u , v, w ) = 0,
ï
îG ( x, y, z, u , v, w ) = 0.
Как и ранее, предположим, что преобразования делаются в такой
области, в которой данная система определяет помимо заданной изначально функции z = z ( x, y ) три неявные функции u = u ( x, y ) ,
v = v ( x , y ) , w = w ( x, y ) .
Для нахождения частных производных z ¢x , z ¢y , как и в предыдущем пункте, воспользуемся формулами производной сложной
функции w = w ( u ( x, y ) , v ( x, y ) ) :
w¢x = wu¢ u ¢x + wv¢ v¢x ,
w¢y = wu¢ u ¢y + wv¢ v¢y .
110
(3.47)

37.

Подставляя в равенства (3.47) выражения для u ¢x , u ¢y , vx¢ , v¢y , w¢x , w¢y ,
найденные из решения системы, полученной дифференцированием
системы (3.46), относительно неизвестных du , dv , dw , получим
уравнения, связывающие wu¢ , wv¢ и z ¢x , z ¢y . Из этих уравнений находим выражения частных производных функции z ( x, y ) через частные производные функции w ( u , v ) .
Чтобы выразить вторые производные функции z ( x, y ) через
u , v, w и частные производные функции w ( u , v ) , как правило, дифференцируют найденные ранее выражения z ¢x и z ¢y .
Так как в большинстве задач формулы замены (3.46) разрешены
относительно либо новых, либо старых переменных, рассмотрим
более подробно эти два случая.
Уравнения связи разрешены относительно новых переменных.
Если система (3.46) имеет вид
ìu = f ( x, y, z ) ,
ï
(3.48)
ív = g ( x, y , z ) ,
ï
î w = h ( x, y , z ) ,
то общая схема решения преобразуется к следующему виду.
Из первого и второго уравнений системы (3.48) сразу получаются выражения для u ¢x , u ¢y , v¢x , v¢y :
u ¢x = f x¢ + f z¢z ¢x ,
u ¢y = f y¢ + f z¢z ¢y ,
v¢x = g ¢x + g ¢z z ¢x ,
v¢y = g ¢y + g ¢z z ¢y .
Эти выражения можно подставить в равенства (3.47) и приравнять
результат к соответствующим производным w¢x , w¢y :
w¢x = hx¢ + hz¢ z ¢x ,
w¢y = h¢y + hz¢ z ¢y ,
полученным дифференцированием последнего уравнения системы
(3.48). Первое из полученных уравнений позволяет выразить z ¢x , а
второе z ¢y .
Уравнения связи разрешены относительно старых переменных.
Если система (3.46) имеет вид
ì x = f ( u , v, w ) ,
ï
(3.49)
í y = g ( u , v, w ) ,
ï
î z = h ( u , v, w ) ,
111

38.

то частные производные функций u ( x, y ) , v ( x, y ) , w ( x, y ) , которые
следует подставить в уравнения (3.47), получают из решения системы
ìdx = f u¢du + f v¢dv + f w¢dw,
ï
(3.50)
ídy = gu¢ du + g v¢ dv + g w¢ dw,
ï z ¢ dx + z ¢ dy = h¢ du + h¢dv + h¢ dw
y
u
v
w
î x
относительно неизвестных du , dv , dw , а именно
æ u ¢x
ç
ç v¢x
ç w¢
è x
-1
u ¢y ö æ fu¢
÷
v¢y ÷ = çç gu¢
w¢y ÷ø çè hu¢
f v¢ f w¢ ö æ 1 0 ö
ç
÷
(3.51)
g v¢ g w¢ ÷÷ ç 0 1 ÷ .
hv¢ hw¢ ÷ø çè z x¢ z ¢y ÷ø
Заметим, что данный способ может оказаться достаточно громоздким. Иногда более удобно производить замену переменных такого типа, сразу получая систему для нахождения z ¢x и z ¢y . Для этого
достаточно приравнять частные производные функции z ( x, y ) как
сложной функции z ( x ( u, v ) , y ( u, v ) ) и соответствующие производные функции h ( u, v, w ) с учетом зависимости w ( u , v ) , т.е. сформировать систему
ìï z ¢x xu¢ + z ¢y yu¢ = hu¢ + hw¢ wu¢ ,
(3.52)
í
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
z
x
+
z
y
=
h
+
h
w
,
ïî x v
y v
v
w v
где частные производные функций x ( u , v ) и y ( u , v ) определяются
из системы (3.49) следующим образом:
xu¢ = f u¢ + f w¢ wu¢ ,
xv¢ = f v¢ + f w¢ wv¢ ,
(3.53)
yu¢ = gu¢ + g w¢ wu¢ ,
yv¢ = g v¢ + g w¢ wv¢ .
П р и м е р 3.21. Приняв u и v за новые независимые переменные,
а w за новую функцию от u и v , преобразуем к новым переменным
уравнение z ¢¢xx - 2 z ¢¢xy + z ¢¢yy = 0 , если
y
z
, w= .
x
x
Способ 1. Уравнения связи разрешены относительно новых
переменных, поэтому сразу найдем частные производные
z¢
z¢ x - z
y
1
u x¢ = 1, u ¢y = 1, vx¢ = - 2 , v¢y = , wx¢ = x 2 , w¢y = y .
x
x
x
x
u = x + y, v =
112

39.

Подставляя полученные выражения в уравнения (3.47), получим
z ¢y
z ¢x x - z
ywv¢
wv¢
¢
¢
=
w
,
=
w
+
.
u
u
x2
x2
x
x
Таким образом,
y
z
z ¢x = xwu¢ - wv¢ + , z ¢y = xwu¢ + wv¢ .
x
x
Теперь найдем вторые производные z ¢¢xx , z ¢¢xy , z ¢¢yy дифференцированием первых производных:
æ
æ ¢¢ y ¢¢ ö ö æ y ¢ y æ ¢¢ y ¢¢ ö ö æ z z ¢x ö
z ¢¢xx = ç wu¢ + x ç wuu
- 2 wuv ÷ ÷ + ç 2 wv - ç wuv - 2 wv2 ÷ ÷ + ç - 2 + ÷ =
x
xè
x
xø
è
øø è x
øø è x
è
y2
2y
¢¢ ¢¢ + 3 wvv¢¢ + 2wu¢ ,
= xwuu
wuv
x
x
w¢¢ ö æ
w¢¢ ö
w¢¢
æ
¢¢ + uv ÷ + ç wuv
¢¢ + vv ÷ = xwuu
¢¢ + 2wuv
¢¢ + vv ,
z ¢¢yy = x ç wuu
x ø è
x ø
x
è
w¢¢ ö æ w¢ y æ
w¢¢ ö ö z ¢
æ
¢¢ + uv ÷ - ç v - ç wuv
¢¢ + vv ÷ ÷ + y =
z ¢¢xy = x ç wuu
x ø è x xè
x øø x
è
y
y
¢¢ + çæ1 - ÷ö wuv
¢¢ - 2 wvv¢¢ + wu¢ .
= xwuu
x
è xø
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем
æ y2 1 2 y ö
(1 + v ) = 0 .
wv¢¢2 ç 3 + + 2 ÷ = 0 , или wv¢¢2
x x ø
u
èx
3
Способ 2.* Продифференцируем формулы преобразования:
y
z
1
1
du = dx + dy, dv = - 2 dx + dy, dw = - 2 dx + dz.
x
x
x
x
Теперь запишем полный дифференциал функции w ( u , v ) и подставим в него полученные выше выражения:
dw = wu¢ du + wv¢ dv .
-
z
1
1 ö
æ y
¢
¢
dx
+
dz
=
w
dx
+
dy
+
w
dx
+
dy ÷ .
(
)
u
v
ç
2
x2
x
x
x
è
ø
113

40.

Из последнего равенства находим
z
æ y
ö
dz = dx + xwu¢ ( dx + dy ) + wv¢ ç - dx + dy ÷ .
(3.54)
x
è x
ø
Определим теперь вторые дифференциалы от новых переменных:
d 2u = 0,
2y 2 2
dx - 2 dxdy,
x3
x
2
2z
1
d 2 w = - 2 dxdz + 3 dx 2 + d 2 z.
(3.55)
x
x
x
Записывая второй дифференциал функции w ( u , v ) и подставляя в
него выражения для du , dv, d 2u , d 2 v , получаем
d 2v =
¢¢ du 2 + 2wuv
¢¢ dudv + wvv¢¢ dv 2 + wu¢ d 2u + wv¢ d 2 v =
d 2 w = wuu
y
1
2
¢¢ ( dx + dy ) + 2 wuv
¢¢ ( dx + dy ) æç - 2 dx + dy ö÷ +
= wuu
x ø
è x
2
1 ö
2dxdy ö
æ y
æ 2y
+ wvv¢¢ ç - 2 dx + dy ÷ + wv¢ ç 3 dx 2 (3.56)
÷.
x ø
x2 ø
è x
èx
Приравнивая выражения (3.55) и (3.56), с учетом (3.54) находим
d2z = 2
dx é z
1 öù 2 z 2
æ y
¢
¢
dx
+
xw
dx
+
dy
+
w
dx
+
dy ÷ - dx +
(
)
u
vç
x êë x
x ø úû x 2
è x
é
y
1
2
¢¢ ( dx + dy ) + 2 wuv
¢¢ ( dx + dy ) æç - 2 dx + dy ö÷ +
+ x ê wuu
x ø
è x
ë
2
y
1 ö
2
æ
æ 2y
öù
+ wvv¢¢ ç - 2 dx + dy ÷ + wv¢ ç 3 dx 2 - 2 dxdy ÷ ú .
x ø
x
è x
èx
ø úû
¢¢ , z ¢¢yy как коэффиОтсюда можно определить производные z ¢¢xx , z xy
циенты при dx 2 , 2dxdy, dy 2 , но требуемый результат можно получить проще, заметив, что d 2 z есть левая часть исходного уравнения
при dx = 1, dy = -1. Таким образом, уравнение преобразуется к виду
( x + y ) w¢¢ = 0 или (1 + v ) w¢¢ = 0 .
2
x3
3
v2
u
114
v2

41.

П р и м е р 3.22. Приняв u и v за новые независимые переменные,
а w за новую функцию от u и v , преобразуем к новым переменным
уравнение
x 2 z ¢x + y 2 z ¢y = z 2 ,
если
u
u
x = u, y =
,z=
.
1 + uv
1 + uw
Способ 1. Уравнения связи разрешены относительно старых
переменных, поэтому для нахождения частных производных функций u ( x, y ) , v ( x, y ) , w ( x, y ) решим систему (3.50), где
æ
1
ç
æ f u¢ f v¢ f w¢ ö ç
1
ç g¢ g¢ g¢ ÷ = ç
ç
v
w÷
2
ç u
ç h¢ h¢ h¢ ÷ ç (1 + uv )
v
w ø
è u
ç
1
çç
2
+
1
uw
(
)
è
Таким образом,
0
-u 2
(1 + uv )
0
ö
÷
÷
÷
0
÷.
÷
2
÷
-u
2 ÷
(1 + uw ) ÷ø
0
2
2
1
æ 1 + uv ö
v¢x = 2 , v¢y = - ç
÷ ,
u
è u ø
u ¢x = 1, u ¢y = 0,
2
1 æ 1 + uw ö
w¢x = 2 - ç
÷ z ¢x ,
u è u ø
2
æ 1 + uw ö ¢
w¢y = - ç
÷ zy .
è u ø
Подставляя полученные частные производные в равенства (3.47),
находим выражения для z ¢x и z ¢y :
z ¢x =
1 - wv¢ - wu¢ u 2
(1 + uw )
2
(1 + uv ) wv¢ .
z ¢y =
2
(1 + uw)
2
,
Исходное уравнение с учетом последних формул примет вид
u 2 (1 - wv¢ - wu¢ u 2 )
(1 + uw)
2
u 2 (1 + uv ) wv¢
2
2
æ u ö
+
=ç
÷ ,
2
2
1
+
uw
ø
(1 + uv ) (1 + uw) è
или
u 4 wu¢
(1 + uw )
2
= 0.
115

42.

Способ 2.* Запишем систему (3.52)
ì
1 - u 2 wu¢
1
=
,
ï z ¢x + z ¢y
2
2
(1 + uv ) (1 + uw )
ï
í
2
u 2 wv¢
ï z ¢ -u
,
=ï y (1 - uv )2
1
uw
+
(
)
î
решая которую находим выражения для z ¢x и z ¢y такие же, как и при
решении предыдущим способом.
З а м е ч а н и е . Иногда формулы замены переменных можно преобразовать к более удобному виду. Так в последнем примере исходные уравнения связи можно разрешить относительно новых переменных
1 1
1 1
u = x, v = - , w = - .
y x
z x
В этом случае сразу получим
1
1
u ¢x = 1, u ¢y = 0,
v¢x = 2 , v¢y = - 2 ,
x
y
1 1
w¢x = 2 - 2 z ¢x ,
1
w¢y = - 2 z ¢y .
x
z
z
116