Лекция 6

1. Основы теории вероятностей

ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
_________________________________
Схема Бернулли

2.

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно
представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из
которых может появиться или не появиться событие А. При этом интерес
представляет исход не каждого "отдельного испытания", а общее количество
появлений события в результате определенного количества испытаний. В подобных
задачах нужно уметь определять вероятность любого числа появлений события в
результате испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми
и вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Такие испытания
называются повторными независимыми.
Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых
опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие
A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется
определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A
появится ровно k раз

3.

Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий,
взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то
вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае
является постоянным числом.
В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем
качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики
которых должны быть известны до начала работы.
Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность
события A одинакова, возможны лишь два исхода:
1. A — появление события A с вероятностью p;
2. 2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.
Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство.
Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A,
которое возникает с одной и той же вероятностью p.

4.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность
того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных:
Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом
опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n
независимых испытаниях событие A появится ровно k раз,
рассчитывается по формуле: