79b34134d84046b78de25224184d01e7

1. ОБЪЕМ ШАРА

Теорема. Объем шара радиуса R выражается формулой
4 3
V R .
3

2. ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА

Шаровым сегментом называется меньшая часть шара, отсекаемая от
него какой-нибудь плоскостью, не проходящей через центр шара.
Круг, образованный сечением шара этой плоскостью, называется
основанием шарового сегмента. Часть радиуса шара, лежащая
внутри шарового сегмента и перпендикулярная его основанию,
называется высотой шарового сегмента.
Теорема. Объем шарового сегмента высоты h, отсекаемого от
1
шара радиуса R, выражается формулой
2
V h ( R h).
3

3. ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЕКТОРА

Шаровым сектором называется часть шара, составленная из
шарового сегмента и конуса, основанием которого является
основание шарового сегмента, а вершиной - центр шара.
Теорема. Объем шарового сектора радиуса R и углом при
вершине выражается формулой
2 3
V R (1 cos ).
3
2

4. Упражнение 1

Найдите объем шара, диаметр которого равен 4 см.
Решение.
3
4 3 4 d
V R
3
3 8
4 * 64 * 32
24
3
32 3
Ответ:
см .
3

5. Упражнение 2

Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на
расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.
R 62 82 10
4 3 4
4000
R R 1000
3
3
3
4000
см3.
Ответ:
3

6. Упражнение 3

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус
увеличить: а) в 3 раза; б) в 4 раза?
а)
4 3 4
V R (3R ) 3
3
3
4
27 R 3
3
Ответ: а) В 27 раз; б) в 64 раза.
б)
4
4
V R 3 (4 R) 3
3
3
4
64 R 3
3

7. Упражнение 4

Медный куб, ребро которого равно 10 см, переплавлен в шар.
Найдите радиус шара. (Потерями металла при переплавке
можно пренебречь.)
4
V R 3
3
R3
V
3V
4
4
3
3V 3 3000 3 750
R
4
4
3
3
125 * 6
53
6
6
Ответ: 5
см.
3

8. Упражнение 5

Радиусы трех шаров равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите радиус
шара, объем которого равен сумме их объемов.
Решение.
Ответ: 6 см3.

9. Упражнение 6

Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их
объемов равнялась объему шара радиуса 6 см?
Решение
Ответ: 27.

10. Упражнение 7

Найдите объем шара, вписанного в куб с ребром, равным
единице.
d 1
4 d3 4
1
V
* *
3 8 3
8
1
6
6
Ответ: .
6

11. Упражнение 8

Найдите объем шара, описанного около куба с ребром, равным
единице.
Решение

12. Упражнение 9

Найдите объем шара, вписанного в правильную треугольную
призму, сторона основания которой равна 1.
3
Ответ:
.
54

13. Упражнение 9

Найдите объем шара, вписанного в правильную треугольную
призму, сторона основания которой равна 1.
r
a
2 3
3
Ответ:
.
54

14. Упражнение 10

Шар радиуса 10 см пересечен плоскостью, проходящей на
расстоянии 4 см от центра шара. Найдите объем отсеченного
шарового сегмента.
Решение
Ответ: 288 см3.

15.

Упражнение 5
4
3
V1 R1
3
4
108
V1 * * 27
3
3
4 3
V2 R2
3
4
256
V2 * * 64
3
3
4 3
V3 R3
3
4
500
V3 * *125
3
3
108 256 500 864
V V1 V2 V3
288
3
3
3
3
3V 3 3 * 288 3 864 3
R
216 6(см3 )
4
4
4
3

16.

Упражнение 6
4 3
V R
3
4
Vб * * 216 288
3
Vб 3 * 288
9 * 3 27
Vм
32
4
32
Vм * * 8
3
3

17.

Упражнение 8
12 12
2
R
2
2
4
( 2 )3 4
2 2
2
V * *
* *
3
8
3
8
3

18.

Упражнение 10
h 10см 4см 6см
1
V h ( R h)
3
2
6
V * 36(10 ) * 36 * 8 288
3