Маслаков Ю.А конференция

1.

Инженерная школа цифровых технологий
Моделирование цен опционов с учётом
эффектов памяти: дробное обобщение
модели Блэка–Шоулза и его программная
реализация
Маслаков Юрий Алексеевич
1121б
Руководитель: доц., к.ф.-м.н.
Иванова Н. Д.

2.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация
Актуальность темы:
● Классическая модель Блэка–Шоулза не учитывает эффекты памяти
реальных рынков
● Финансовые временные ряды демонстрируют долгосрочные корреляции
и кластеризацию волатильности
● Особенно актуально для Московской биржи
Цель работы: Разработка и программная реализация дробно-временной
модели оценки стоимости европейского опциона с производной Римана–
Лиувилля
Задачи:
● Анализ ограничений классической модели
● Построение дробно-временного уравнения Блэка–Шоулза
● Разработка численной разностной схемы
● Программная реализация и вычислительные эксперименты

3.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация
Описание основной идеи работы, новых технологических решений
• Классическое уравнение Блэка–Шоулза описывает цену опциона как марковский процесс:
каждый следующий момент зависит только от текущего состояния рынка, прошлое
полностью игнорируется. В реальности рынок «помнит» свою историю — резкое падение
цены вчера влияет на поведение актива сегодня и завтра.
• В уравнении Блэка–Шоулза производная первого порядка по времени заменяется на
дробную производную Римана–Лиувилля порядка α ∈ (0, 1]. Дробный оператор учитывает
всю предысторию цены с постепенно убывающим весом — математически это и есть эффект
памяти рынка.
• При α = 1 модель вырождается в классическую — память отсутствует. Чем меньше α, тем
сильнее влияние прошлых состояний на текущую оценку опциона. Эмпирические данные по
Московской бирже соответствуют α ∈ (0.7, 0.95) — умеренно выраженный эффект памяти.

4.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация
Описание основной идеи работы, новых технологических решений
Новизна работы состоит в нескольких аспектах.
Во-первых, применение дробного исчисления к задаче ценообразования опционов на
российском рынке.
Во-вторых, численная реализация дробного уравнения методом конечных разностей с
весами Грюнваля-Летникова.
В-третьих, интеграция численного метода с реальными рыночными данными. Приложение
автоматически загружает актуальные параметры опциона с Московской биржи через ISS
MOEX API — цену базового актива, страйк, срок до экспирации и историческую
волатильность, рассчитанную по дневным свечам за последние 90 дней. Это позволяет
сравнивать теоретическую цену модели с реальной рыночной ценой в режиме реального
времени.

5.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация
Сравнение с аналогами (или подтверждение того, что таковых нет)
На сегодняшний день существуют как академические реализации дробной модели
Блэка-Шоулза, так и коммерческие системы оценки опционов. Однако ни одно из
известных решений не сочетает в себе одновременно все три характеристики
разработанного приложения.
Академические реализации, как правило, представляют собой скрипты на Python или
MATLAB, требуют технической подготовки от пользователя и не имеют интеграции с
реальными рыночными данными.
Коммерческие терминалы — Bloomberg, Reuters Eikon, QUIK — используют
исключительно классическую модель Блэка-Шоулза или её модификации с
детерминированной волатильностью, но не применяют дробное исчисление.
Российских десктопных приложений, реализующих дробную модель Блэка-Шоулза с
прямым подключением к данным Московской биржи, в открытом доступе не
обнаружено.

6.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация
Математическая модель:
Дробно-временное уравнение Блэка–Шоулза решается методом
конечных разностей. Дробная производная Римана–Лиувилля
аппроксимируется по формуле Грюнвальда–Летникова, что позволяет
учесть вклад всей предыстории решения на каждом временном шаге.
Построенная неявная разностная схема является безусловно устойчивой
Классическое уравнение Блэка-Шоулза:
Дробное обобщение (производная Римана-Лиувилля):

7.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация
Программный:
Язык программирования и платформа
Приложение разработано на языке C# с использованием платформы .NET
8.
Пользовательский интерфейс реализован на основе фреймворка WPF
(Windows Presentation Foundation). Интерфейс описывается
декларативно на языке XAML, что позволяет чётко разделить визуальную
разметку и логику приложения. вычислениях.

8.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация

9.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация
Выполнено:
Изучение дробного исчисления и модели Блэка-Шоулза. Разработка
архитектуры приложения (MVVM, WPF). Интеграция с ISS MOEX API. Реализация
кэширования и офлайн-режима. Ручной ввод параметров и валидация
В процессе:
Реализация численного метода. Вычислительные эксперименты ·
Сравнительный анализ дробной и классической моделей
Планируется:
Апробация на исторических данных Московской биржи · Оформление и защита
ВКР

10.

Моделирование цен опционов с учётом эфектов памяти: дробное
обобщение модели Блэка–Шоулза и его программная реализация
Подводя итог, на текущий момент получены следующие результаты.
Построена строгая математическая постановка начально-краевой задачи
для дробно-временного уравнения Блэка–Шоулза. Разработана и
обоснована численная схема. Реализовано десктопное приложение,
позволяющее вычислить справедливую цену европейского опциона с
учётом эффекта памяти рынка и сравнить результат с оценкой по
классической модели.