лекция 11 пример

1. Лекция 11 Свободные колебания системы с бесконечным числом степеней свободы. Динамический расчет рам по методу сил и методу

перемещений
Пример 1
Определить собственные частоты поперечных
колебаний симметричной рамы с распределенной
массой по длине стержней (рисунок 1). Пусть
высота стоек и длины пролетов одинаковы, а
интенсивность распределения масс постоянная
величина, т.е.
h= l 6 м, m const

2. Собственные колебания рамы. Расчетная схема рамы с распределеннной массой Для расчета используем метод перемещений

3.

Т.к. система симметричная, используем
группировку неизвестных Z. В основной
системе метода перемещений разлагаем
неизвестные
угловые
и
линейные
перемещения
на
симметричные
и
обратносимметричные. От симметричных
перемещений
возникают
только
симметричные усилия и обратно. Для
построения единичных эпюр изгибающих
моментов метода перемещений для системы
с распределенной массой используем
следующую таблицу с круговыми функциями.

4. Таблицы реакций для стержней с распределенной массой

5. Группировка неизвестных метода перемещений (симметричные (Z1) и обратносимметричные (Z2)). Ординаты единичных эпюр М1 и М2

зависят от параметра частоты свободных колебаний λ.

6.

ch Cos
,
2
ch Cos
C
,
2
A
sh Sin
,
2
sh Sin
D
2
B
2
1
m
1 C B D (1 ch Cos ), sl l 4
2
EI
1
2 A D B C ( sh Cos ch Sin )
2
2

7. Круговые функции

3
B
3 sh Sin
4 ( ) 2
,
12 C B D 12 1 ch Cos
3 ( )
3 A B C D
12
1 ( )
C 2 B D
2 A C B 2
6 C 2 B D
3 sh Cos ch Sin
,
12
1 ch Cos
2
Sin sh
3 ( ),
6 1 ch Cos
2
C
2 сh Cos
2 ( )
4 ( ),
6 C 2 B D
6 1 ch Cos
8 ( )
3
1 ch Cos
3 ch Sin sh Cos
сh Sin sh Cos
,
4 C 2 B D
4
1 ch Cos
D
sh Sin
2 ( ) 2
,
2 C B D 2 1 ch Cos
1 ( )
B C A D
2 D 2 A C
3 ( )
6 C 2 B D
2
Sin sh
,
6 1 ch Cos
2
C
2 сh Cos
4 ( )
,
6 C 2 B D
6 1 ch Cos
5 ( )
2 sh Sin
3 ch Sin sh Cos

8.

9. Канонические уравнения. Характеристические уравнения для определения собственных частот.

Z1 (t ) Z1 Sin t,
r11Z1 R1 p 0,
r11 0,
Z 2 (t ) Z 2 Sin t
r22 Z 2 R2 p 0
r22 0
2
m
l4
EI
r11 2 3i 5 ( ) 4i 1 ( ) 4i 1 ( ) 2i 2 ( ) 0,
r22 2 3i 5 ( ) 4i 1 ( ) 4i 1 ( ) 2i 2 ( ) 0
r11 3i 5 ( ) 8i 1 ( ) 2i 2 ( ) 0,
r22 3i 5 ( ) 8i 1 ( ) 2i 2 ( ) 0
2
i
2 EI
(
)
3
l
m
ml

10. Приближенный метод. Метод итераций

11.

Используем приближенные методы для решения
трансцендентных уравнений. Подставляя заданные
значения длин пролетов, получаем следующие
значения для симметричных частот собственных
колебаний:
λ 1=3,34;
λ2=4,25;
λ3=4,73
Для обратносимметричных форм собственных
колебаний получаем:
λ 1=3,6;
λ2=4,53
λ3=5,02