ЛЕКЦИЯ случайные величины

1. Теория вероятностей и математическая статистика

Случайные величины

2. Одномерные случайные величины

Пусть есть случайный эксперимент, ─
пространство элементарных событий.
Определение
Случайной величиной
называется
числовая функция, зависящая от случайных
событий.
Случайная величина – принимает значения
случайным образом.

3. Дискретные распределения

Определение
Случайная величина имеет дискретное
распределение, если она принимает не более
чем счетное число значений.
Значения: a1, a2,…,
Вероятности значений: pi = P( = ai) > 0
p 1.
i 1
i

4. Определение

Если случайная величина
имеет
дискретное
распределение,
то
рядом
распределения называется соответствие,
которое имеет вид :
a1
a2
a3
…
P
p1
p2
p3
…

5. Пример

Подбрасываем 1 раз кубик. ={1,2,3,4,5,6},
Пусть случайная величина – выпавшее
число. Построить ряд распределения.
Решение
1
2
3
4
5
6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

6.

Случайная величина имеет дискретное
равномерное распределение, если
принимает n значений х1, х2,..., xn с
вероятностями рi = 1/n.
х1
х2
…
xn
Pi
1/n
1/n
…
1/n

7. Распределение Пуассона P

Распределение Пуассона P
Случайная
величина
имеет
распределение Пуассона с параметром ,
где >0, если принимает значения 0, 1,
2,… с вероятностями
P k
k
k!
e

8. Пример

Распределение вероятностей Пуассоновской
случайной величины с λ=5.

9. Распределение Пуассона

Пуассоновская модель обычно описывает
схему редких событий: при некоторых
предположениях о характере процесса
появления
случайных
событий
число
событий, происшедших за фиксированный
промежуток времени или в фиксированной
области пространства, часто подчиняется
пуассоновскому распределению.

10. Распределение Пуассона

Примерами
могут
служить
число
частиц
радиоактивного
распада,
зарегистрированных
счетчиком в течении некоторого времени t, число
вызовов, поступивших на телефонную станцию за
время t, число дефектов в куске ткани или в ленте
фиксированной длины, число изюминок в кексе и
т.д. Наконец, распределение Пуассона дает хорошую
аппроксимацию биномиального распределения для
больших значений n и малых значений р.

11. Функция распределения

Определение
Функцией
распределения
случайной
величины называется функция F (x), при
каждом x R равная
F (x) = P( < x).

12. Пример

1
2
3
4
5
6
P
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
F (x) P{ x).
При x 1: F (x) P{ x) 0.
При 1 x 2: F (x) P{ x) 1/ 6.
При 2 x 3: F (x) P{ x) 2 / 6 и т. д.

13. Функция распределения ξ

0,
1 / 6,
2 / 6,
F ( x) 3 / 6,
4 / 6,
5 / 6,
1,
x 1;
1 x 2;
2 x 3;
3 x 4;
4 x 5;
5 x 6;
6 x.

14. График функции распределения ξ

15. Свойства функции распределения

1.Функция
распределения
F (x)
не
убывающая, т.е. для любых x1<x2 выполняется
F (x1) F (x2);
2. Существуют пределы
lim F x 0
x
lim F x 1
x
3. Функция распределения непрерывна слева:
F x0 0 lim F x F x0
x x0 0

16. Непрерывные распределения

Определение
Случайная величина имеет непрерывное
распределение, если существует неотрицательная
функция f (x) такая, что для любого x0 R функция
распределения представима в виде
x0
F x0 f t dt
При этом функция f (x) называется плотностью
распределения случайной величины . Или
f x F x .

17. Геометрический смысл функции распределения

18. Свойства плотности

1. Почти всюду f x 0.
2. f x dx 1.
b
3. f x dx F b F a P a b .
a

19. Примеры непрерывных распределений

Равномерное распределение R [a, b]
x a, b
0,
f x 1
, x a, b
b a
x a
0,
x a
, a x b
F x
b a
x b
1,

20. График плотности распределения R[a,b]

f(x)
1/(b-a)
a
b
x

21. График функции распределения R[a,b]

F(x)
1,0
0,0
a
b
x

22. Нормальное распределение N (a,)

Нормальное распределение N (a, )
x a
2
1
2 2
f x a , ( x)
e
2
x
t a
2
1
2 2
F x a , ( x)
e
dt
2

23. Кривые плотностей N(a, σ) с различными а и σ

24. Нормальное распределение N (a,)

Нормальное распределение N (a, )
• Графики нормальных
плотностей имеют
симметричную, колоколообразную форму.
• а – это величина, которая характеризует
положение кривой плотности на оси абсцисс.
• Изменение приводит к изменению формы
кривой плотности, с увеличением кривая
делается
менее островершинной и более
растянутой вдоль оси абсцисс.

25. Интерпретация

С помощью модели нормального распределения
можно описать множество явлений, например
распределение высоты деревьев, площадей садовых
участков, массы тела людей, дневной температуры и
т. д. Нормальное распределение используется и для
решения многих проблем в экономической жизни.
Например, распределение числа дневных продаж в
магазине, числа посетителей универмага в неделю,
числа работников в некоторой отрасли, объемов
выпуска продукции на предприятии и т. д.

26. N(0,1)

При а = 0 и σ = 1 нормальное распределение называют
стандартным нормальным распределением
1
e
( x) 0,1 ( x)
2
x2
2
x
1
e
x 0,1 ( x)
2
t2
2
dt

27. Плотность и функция распределения N(0,1)

Probability Density Function
y=normal(x;0;1)
Probability Distribution Function
p=inormal(x;0;1)
0,6
1,0
0,5
0,8
0,4
0,6
0,3
0,4
0,2
0,2
0,1
0,0
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3

28. Нормальное распределение N (a, )

Нормальное распределение N (a, )
С помощью линейного преобразования
a
нормальное распределение с произвольными параметрами
(a, ) приводится к нормальному распределению с
параметрами (0, 1).

29. Правило 3 сигм

Нормально распределенная случайная величина с
большой вероятностью принимает значения, близкие к
своему математическому ожиданию, что выражается
правилом сигм:
0.68, k 1
P a k 0.95, k 2
0.997, k 3

30. Вспомним, что по свойствам плотности и функции распределения:

b
P a b f x dx F b F a .
a

31. Правило 3 сигм

0.68, k 1
P a k 0.95, k 2
0.997, k 3

32. Показательное (экспоненциальное) распределение E

Показательное (экспоненциальное)
распределение E
0, x 0
f x x
e , x 0
0
x 0
0,
F x
x
1 e , x 0

33. Графики плотности и функции распределения E2

Probability Density Function
y=expon(x;2)
Probability Distribution Function
p=iexpon(x;2)
2,0
1,0
1,8
1,6
0,8
1,4
1,2
0,6
1,0
0,8
0,4
0,6
0,4
0,2
0,2
0,0
0,0
0,2
0,6
0,4
1,0
0,8
1,4
1,2
1,8
1,6
2,2
2,0
2,6
2,4
3,0
2,8
0,2
0,6
0,4
1,0
0,8
1,4
1,2
1,8
1,6
2,2
2,0
2,6
2,4
3,0
2,8

34. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Определение
Математическим ожиданием M
сл. вел. с
дискретным распределением, задаваемым законом
распределения P( =xi) = pi, называется число
n
M xi pi
i 1
Смысл:
Математическое ожидание – это среднее
значение случайной величины.

35. Пример вычисления математического ожидания дискретной случайной величины.

ξ
-1
0
1
2
5
P
0,3
0,2
0,3
0,1
0,1
Mξ=(-1)∙0,3+0∙0,2+1∙0,3+2∙0,1+5∙0,1 = 0,7.

36. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.

Математическим ожиданием M случайной
величины
с абсолютно непрерывным
распределением с плотностью распределения
f (x) называется число
M x f x dx.

37. Замечание

Если
n
x p или | x | f x dx ,
i 1
i
i
то говорят, что математическое ожидание
не существует.

38. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины

Математическим ожиданием функции φ(ξ)
дискретной случайной величины ξ, имеющей
распределение P(ξ =xi) = pi, называется величина
M[φ(ξ)], равная
M [ ( )] ( xi ) pi ,
i
где pi p ( xi ).

39. Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины

Математическое
ожидание
функции
непрерывной случайной величины с
плотностью
вероятностей
fξ(x)
вычисляется по формуле
M ( ) ( x) f ( x)dx

40. Свойства матожидания

1. MC = C, (С = const )
2. M(Cξ) = C∙Mξ,
3. M(ξ + η ) = M ξ + M η ,
4. M(ξ ∙ η) = M ξ ∙Mη (для независимых
величин).

41. Дисперсия случайной величины

Определение.
Если случайная величина ξ имеет математическое
ожидание M ξ , то дисперсией случайной величины ξ
называется величина
D ξ = M(ξ - M ξ )2.
Смысл:
Дисперсия случайной величины
характеризует меру разброса случайной величины
около ее математического ожидания.

42. Свойства дисперсии

• Дисперсия
любой
случайной
величины
неотрицательна, Dξ ≥ 0;
• Дисперсия константы равна нулю, Dc = 0;
• Для произвольной константы D(cξ ) = c2D(ξ );
• Дисперсия суммы или разности независимых
случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(ξ ± η) = D(ξ) + D(η).

43.

Еще одно важное свойство дисперсии
D M (M )
2
2

44. Вычисление Mξ2

n
M pi xi
2
2
i 1
M
2
x f ( x) dx
2

45. Пример вычисления дисперсии

ξ
-1
0
1
2
5
P
0,3
0,2
0,3
0,1
0,1
Mξ2=(-1)2∙0,3+02∙0,2+12∙0,3+22∙0,1+52∙0,1 = 3,5.
Mξ = 0,7.
Dξ = 3,5 – (0,7)2 = 3,01.

46. Числовые характеристики

Распределение
Mξ
Dξ
B(n,p)
np
npq
P
λ
λ
N(a,σ)
a
σ2
R [a, b]
(a+b)/2
(b-a)2/12
46

47. Начальные и центральные моменты

Определение.
Начальным моментом k-го порядка
случайной величины ξ называется математическое
ожидание k-й степени случайной величины ξ , т.е.
αk = Mξ k.
Определение. Центральным моментом k-го порядка
случайной
величины ξ
называется величина μk,
определяемая формулой
μk = M(ξ - Mξ )k.

48. Среднеквадратичное отклонение

Для определения меры разброса значений
случайной величины часто используется
среднеквадратичное
отклонение
σξ,
связанное с дисперсией соотношением
σξ = √Dξ.
Смысл среднеквадратичного
линейная мера разброса.
отклонения:

49. Замечания

1.Математическое ожидание случайной величины начальный момент первого порядка, μ1 = Mξ1.
2. Дисперсия - центральный момент второго
порядка, μ 2 = M(ξ - M ξ )2 = Dξ .
3. Существуют формулы, позволяющие выразить
центральные моменты случайной величины через ее
начальные моменты, например:
μ 2 = α2 - (α1)2.

50. Коэффициент асимметрии

Определение.
Коэффициентом асимметрии
называется число A,
которое определяется
формулой
3
A 3
где μ3 - центральный момент третьего порядка,
σ - среднеквадратичное отклонение.

51. Замечания

У симметричного распределения асимметрия
равна 0.
Асимметрия распределения с длинным
правым хвостом положительна.
Если распределение имеет длинный левый
хвост, то его асимметрия отрицательна.

52. Пример: A < 0

Пример: A < 0
Probability Density Function
y=beta(x;14;4)
4,642
3,481
2,321
1,160
0,000
0,535
0,642
0,749
0,855

53. Пример: A > 0

Пример: A > 0
Probability Dens ity Function
y=lognorm (x;0;0,5)
0,994
0,746
0,497
0,249
0,000
0,722
1,444
2,166
2,888

54. Коэффициент эксцесса

Определение. Коэффициентом эксцесса
называется число Е, которое определяется
формулой
E 4 3
4

55. Замечания

•Коэффициент
эксцесса
указывает
на
«островершинность» или «плосковершинность»
графика плотности.
•Если Е > 0, то это означает, что график плотности
вероятностей
сильнее
“заострен”,
чем
у
нормального распределения, если же Е < 0, то
“заостренность”
графика
меньше,
чем
у
нормального распределения.
•У нормального распределения А = 0 и Е = 0.

56. Пример: E > 0

Пример: E > 0
Probability Density Function
y=laplace(x;0;1)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
3

57. Мода

Определение.
Модой непрерывной случайной величины ξ
называется значение m0, при котором
плотность fξ(x) достигает максимума.
Модой дискретной случайной величины ξ
называется значение m0, при котором
p(ξ = m0 )= max pi

58. Пример

ξ
P
-1
0,3
0
0,2
1
0,4
2
0,1
Мода m0 дискретной случайной величины ξ
равна значению ξ = 1, т.к. p(ξ = 1)= max pi.
m0 = 1.

59. Медиана

Определение.
Медианой непрерывной случайной величины ξ
называется значение me, при котором F(me) = 1/2.
Замечание. Для непрерывной случайной величины
ξ это определение равносильно следующему:
me
1
f ( x)dx 2 .

60. Чтобы найти медиану, надо решить уравнение

F x 0,5.
Корень этого уравнения и есть медиана.
(Если корней несколько, выберите
правильный).

61. Пример: мода, медиана и Mξ

Probabi l i ty Dens i ty Func ti on
y=c hi 2(x;10)
Probabi l i ty
p
1,0
0,10
0,8
0,08
0,6
0,06
0,4
0,04
0,2
0,02
0,00
0,0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
m0 = 8; me = 9,34; Mξ = 10.
22
4
6
8
10

62. Квантиль порядка q

Определение. Квантилью порядка q, 0<q<1
случайной величины ξ называется значение
xq, при котором Fξ(xq) = q.
Смысл. Квантиль порядка q отсекает слева
100∙q% значений случайной величины.
Замечание. Медиана – это квантиль порядка
0,5.

63. Геометрический смысл квантили порядка q

64. Чтобы найти квантиль xq, надо решить уравнение

F x q.
Корень этого уравнения и есть квантиль
порядка q. (Если корней несколько, выберите
правильный).

65. Пример. Найти квантиль x0,3 в R[2,5].

Fξ(xq) = q.
x a x 2 x 2
F ( x)
.
b a 5 2
3
x 2
0,3. x 3 0,3 2 2,9.
3
Ответ: x0,3 2,9.