2.Однородные уравнения

1.

Однородные уравнения
1

2. Однородные уравнения

Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
Подставляем в функцию М(x, y):
x tx
y ty
ПРИМЕРЫ однородных функций:
f (x, y) x 3 3x 2 y ,
f (x, y) 4 x8 y8 ,
3
3
x
y
f (x, y)
,
x 2 xy y 2
x2 y 2
,
f (x, y)
xy
f (x, y) sin
x
ln y ln x.
y
2

3. Дифференциальное уравнение первого порядка

y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Для проверки подставляем в уравнение: x tx
y f (tx, ty) f (x, y) однородное
y ty
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
m
dy
M ( x, y)
M (tx,ty) t M (x, y) M (x, y)
N (x, y)
dx
N ( x, y)
t m N (x, y)
N (tx, ty)
Для проверки подставляем в уравнение: x tx
y ty
M (tx, ty)dx N (tx, ty)dy 0 t m M ( x, y)dx t m N ( x, y)dy 0
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 однородное
3

4.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z(x) y
x
dy
dz
z x .
Тогда y xz,
y x z xz ,
dx
dx
Из определения однородного уравнения для любого t:
f (t x, t y) f (x, y)
Пусть t 1 , получаем
y
1
1
x
f ( x, y) f (t x, t y) f ( x, y) f (1, ) f (1, z)
x
x
x
Подставляем в уравнение:
z x
dz
f (1, z)
dx
(z)
y f ( x, y)
dz
dx
(z) z x
dz
ln x C
(z) z
Замечание. При дифференциальной форме записи
dy d ( xz) xdz zdx.
4

5. Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегри- руются с помощью замены

Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
Тогда x yz,
dx ydz zdy.
5

6. Уравнения, приводящиеся к однородным

1. Уравнения вида y f a1x b1 y c1
a 2 x b2 y c 2
a1x b1 y c1
y
f
Рассмотрим уравнение
(7)
a 2 x b2 y c 2
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
f a1x b1y y .
x
a2 x b2 y
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой
переменных
приводится
либо
к
уравнению
с
разделяющимися переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a1 b1
.
6
a2 b2

7.

а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Если Δ 0 , то система уравнений
a1x b1 y c1 0
a x b y c 0
2
2
2
имеет единственное решение x = , y = .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + , y = z + .
dy d (z ) dz
Тогда:
;
dx d (t ) dt
dz f a1 (t ) b1(z ) c1
,
dt
a 2 (t ) b2 (z ) c 2
dz f a1t b1z (a1 b1 c1 ) ,
dt
a 2 t b2 z (a 2 b2 c 2 )
dz f a1t b1z .
dt
a 2 t b2 z
однородное уравнение
7

8.

б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны
(см. курс «Линейная алгебра»),
то есть
a2 = a1 , b2 = b1 .
a1x b1 y c1 f a1x b1 y c1
y
f
Тогда
a2 x b2 y c2
(a1 x b1 y) c2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
8

9. 2. Обобщенно однородные уравнения

Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число , что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени m относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать
x – величиной измерения 1, y – величиной измерения , y и
dy – величинами измерения – 1, dx – величиной измерения 0.
Для проверки подставляем: x tx,
dy t 1dy,
y t y,
y t 1 y ,
dx dx.
Уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное,
если ℚ такое, что
P(tx , t y)dx + Q(tx , t y) (t dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Уравнение y = f(x , y) – обобщенно однородное, если ℚ
такое, что (t y ) = f(tx , t y) = t -1 f(x , y).
9

10.

Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = z . (Доказать самостоятельно!)
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zx .
10

11.

Рассмотрим обобщённо однородное уравнение
P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0.
y zx
P(tx,t y) t m P(x, y)
Тогда для любого t:
Q(tx,t y) t m 1Q(x, y)
Пусть t 1 ,
x
1
1
y
P(x, y) 1m P(tx,t y) x m P( x, y) x m P(1, )
x
x
t
x
x m P(1, z)
1
Q( x, y) m 1 Q(tx, t y) x m 1 Q( 1 x, 1 y)
t
x
x
y
x m 1 Q(1, ) x m 1 Q(1, z)
x
dy d (zx ) zd (x ) x d (z) z x 1dx x dz
Подставляем полученные результаты в уравнение:
x m P(1, z)dx x m 1 Q(1, z) (z x 1dx x dz) 0
(P(1, z) Q(1, z) z )dx x Q(1, z)dz 0
11

12. (P(1, z)  Q(1, z)  z  )dx  x Q(1, z)dz  0

(P(1, z) Q(1, z) z )dx x Q(1, z)dz 0
Q(1, z)dz
dx
(P(1, z) Q(1, z) z )
x
– уравнение с разделёнными
переменными
12