Tema_5

1. Тема 5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В ОПЫТНОМ ДЕЛЕ

• ВОПРОСЫ:
• 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
• 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
КОЛИЧЕСТВЕННОЙ И КАЧЕСТВЕННОЙ
ИЗМЕНЧИВОСТИ
• 3. ЭМПИРИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

• Степень варьирования, выраженную математически,
называют вариацией.
• Теория вероятностей – наука изучающая общие
закономерности массовых случайных явлений.
• Вместо сплошного учета всей генеральной
совокупности большого объема для изучения отбирают
ее часть (выборку) и судят по ней о состоянии
совокупности в целом.
• Объем выборки (п) – число объектов из данной
совокупности взятого для анализа.
• Выборки, состоящие п < 30 единиц, называют малыми
выборками, большими выборками (п > 30).

3.

• Выборки подразделяются на повторные и
бесповторные.
• Отношение числа случаев с данным событием (n) к
числу всех возможных случаев (N) составляет уровень
вероятности (Р)
Р = n/N.
• События, вероятность которых составляет более 0,5
называют вероятными,
• менее 0,5 – маловероятными.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Вероятность обязательного события равна единице.
• Вероятность, равная единице, называется достоверной.

4.

• Варьирующие данные приводят к определенному
порядку т.е в порядке возрастания или убывания
– это называется ранжированием данных.
• Числа, которые характеризуют повторяемость
каждого значения признака из всей выборки или
совокупности называется частотами признака
(f).
• Сумма всех частот (∑f) равна объему выборки
(п) или совокупности.
• Вариационный ряд – ряд ранжированных чисел,
т.е в порядке возрастания или убывания для
которых указаны значения варьирующего
признака и соответствующие им частоты (т. е.
сколько раз повторяется тот или иной признак).

5. 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ И КАЧЕСТВЕННОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ

• Различают изменчивость количественную и
качественную.
• Количественная – масса урожая, размеры
растений, содержание питательных элементов
в почве, т. е. все, что имеет массу, размер,
объем и т. п.
• Количественная изменчивость: непрерывная
(дробными числами и выражается в единицах
измерения),
• прерывистая – целыми числами и
выражается в штуках.

6. Основные статистические характеристики количественной изменчивости:

• средняя арифметическая - Х,
• дисперсия - S2,
• стандартное отклонение - S,
• ошибка средней арифметической - S Х ,
• коэффициент вариации - V,
• относительная ошибка средней
арифметической - S Х % ,
• интервальная оценка средней
арифметической
X t05 S X

7.

• Средняя арифметическая Х .Средняя арифметическая
является основной статистической характеристикой
вариационного ряда, все остальные лишь объясняют ее.
Х
Х
n
• где Х – отдельные значения признака в выборке;
• n – объем выборки.
• Дисперсия (S2). Дисперсии характеризуют величину изменения
вариационных рядов и специфику варьирования.
(Х Х )
S
2
n 1
2

8.

• Стандартное отклонение (S). Как и дисперсия выражается в
единицах измерения признака и служат основными мерами
вариации, рассеяния изучаемого признака.
• Чем сильнее варьирует показатель, тем больше числовое
значение стандартного отклонения.
S S2
• Стандартное отклонение показывает величину рассеивания
данных признака около средней арифметической.
Х± S
Например средняя длина колоса 10±2 см.

9.

• Коэффициент вариации (V). Относительный
показатель изменчивости признака.
• Коэффициент вариации V – это отношение
стандартного отклонения к средней арифметической ,
выраженное в процентах:
S
V 100
Х
• Варьирование незначительное - V< 10 %,
• среднее -V= 10-20 %,
• значительное V> 20 %.

10.

• Ошибка выборочной средней S Х .
• Средние арифметические выборки имеют ошибки,
которые возникают в результате неполной
представительности выборки, зависит как от степени
изменчивости изучаемого признака, так и от объема
выборки.
SX
S2
n

11.

• Относительная ошибка выборочной средней
- S Х % это отношение ошибки выборочной
средней к средней арифметической,
выраженная в процентах:
SX%
SX
X
100
• Чем меньше относительная ошибка, тем выше
точность средней арифметической.
• Точность принято считать:
• высокой при S Х % <3 % ,
• средней при S Х % = 3-6 %,
• низкой при S Х % > 6-7 %.

12.

• Доверительный интервал средней арифметической – определяется с 95 %
уровнем вероятности (или при 5 % уровне значимости).
• Теоретическое значение критерия Стьюдента - t для 5 % уровня значимости
(t05) при степени свободы n-1:
X t05 S X
t
S
05
X
• Доверительная граница
• Начало интервала
X t05 S X
• Конец интервала
X t05 S X
X t05 S X ÷
X t05 S X

13. Таблица 3 – Значения критерия t на 5, 1 и 0,1 %-ном уровне значимости

Число степеней
свободы
Уровень значимости
0,05
0,01
0,001
1
12,71
63,66
–
2
4,30
9,93
31,60
3
3,18
5,84
12,94
4
2,78
4,60
8,61
5
2,57
4,03
6,86
6
2,45
3,71
5,96
7
2,37
3,50
5,41
8
2,31
3,36
5,04
9
2,26
3,25
4,78
10
2,23
3,17
4,59
11
2,20
3,11
4,44
12
2,18
3,06
4,32

14.

• При анализе больших выборок все данные
ранжируют, выделяют группы с определенным
интервалом (i), определяют частоту(f), т. е.
повторяемость признака в каждой группе
вариационного ряда.
• Вариационный ряд – ряд ранжированных чисел, для
которых указаны значения варьирующего признака и
соответствующие им частоты (т. е. сколько раз
повторяется тот или иной признак).
• Обработку вариационного ряда:
• Определяют число групп Ч Г :
ЧГ
n

15.

• Вычисляют интервал групп (i):
X max X min
i
ЧГ
• где Хmax – максимальное значение признака в выборке;
• Хmin – минимальное значение признака в выборке.
• Распределение выборки по группам проводят механически
способом штрихов или конвертов.
• Изображают вариационный ряд графически и делают
выводы.

16.

• Качественные признаки растений:
• число поврежденных и здоровых растений,
• число живых и погибших растений,
• число больных и здоровых клубней картофеля в
хранилище и т. п.
• При анализе качественной изменчивости
подсчитывают число объектов с тем или иным
признаком.
• Если качественные признаки в выборке
представлены двумя взаимоисключающими, т.е.
данный признак либо есть, либо отсутствует.
• Такую изменчивость называют двухранговой,
взаимоисключающей или альтернативной.
• Если признаков три и более – многоранговой.

17.

• Cтатистические характеристики качественной
изменчивости:
• доля наличия признака – р,
• доля отсутствия признака – q,
• показатель изменчивости качественного
признака – S,
• коэффициент вариации – Vp,
• ошибка выборочной доли – Sp.
• Общий объем выборки обозначают буквой N,
а число объектов с данным признаком – п.

18.

• Доля наличия признака – это отношение числа объектов с
данным признаком (n) к общему числу объектов (N), т. е. к
объему выборки:
n
р
N
• Доля отсутствия признака – это разность между целым, т. е.
единицей, и долей наличия признака
• q = 1-р.
• Показатель изменчивости качественного признака S, для
двухранговой изменчивости, т. е. когда изучаемый объект
имеет две градации.
S p q
• Максимальная изменчивость sмах наблюдается при р = q =
0,5. При этом показатель sмах изменчивости также равен 0,5.

19.

• Коэффициент вариации – характеризует относительную
изменчивость изучаемых признаков и используется для
сравнительной оценки выравненности различных совокупностей.
• Vp = 100 (S/ Sмах).
• Максимальное значение коэффициента вариации 100 %
наблюдается при s = sмax = 0,5.
• Ошибка выборочной доли – это мера отклонения выборочной
доли наличия признака р от ее доли в генеральной совокупности
Р, которую для альтернативной изменчивости:
S р1 p g / N
Ее величина зависит от объема выборки.
• Интервальная оценка доли р ± Sp∙t05 при 5 % уровне значимости
для степени свободы N-1.

20. 3. ЭМПИРИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

• Различают эмпирическое и теоретическое
распределение частот совокупности результатов
наблюдений.
• Эмпирическое распределение – графическое
изображение распределение данных по группам,
результатов измерений или наблюдений, полученных
при изучении выборки.
• Кривая распределения - полигон, ступенчатый график
– гистограмма.
• Средняя арифметическая и стандартное отклонение
являются основными статистическими
характеристиками, которые задают эмпирическое
распределение частот.

21.

Распределение высоты растений сортов ячменя, см
20
18
16
Частота
14
12
Дина
10
Неван
8
Сокол
6
4
2
0
1
2
3
4
Группы
5
6
7

22.

Распределение высоты растений сортов ячменя
20
18
Частота, f
16
14
БИОС-1
12
Дина
Неван
10
Ратник
8
Сокол
6
Ясный
4
2
0
1
2
3
4
Группы
5
6
7

23.

• Теоретическим называют распределения вероятностей,
используется для проверки некоторых гипотез.
• В исследовательской работе применяется нормальное
распределение.
• Нормальным называют распределение вероятностей
непрерывной случайной величины Х.
• Положение и форма кривой нормального распределения
определяется генеральной средней µ (мю)и стандартным
отклонением δ (сигма).
• Форма кривой нормального распределения зависит от
величины стандартного отклонения.
• Если стандартное отклонение большое то значит сильно
варьирует изучаемый материал – кривая более пологая,
при незначительном значении стандартного отклонения –
кривая приобретает иглообразную форму.

24.

25.

• Для нормального распределения характерны следующие
закономерности:
• в области µ ± δ лежит 68,3 % (почти две трети) всех наблюдений;
• внутри пределов µ ± 2δ находится 95,5 % всех значений
случайной величины;
• интервал µ ± 3δ охватывает 99,7 %, практически все значения.
• Площадь под кривой выраженную в процентах всей площади
называют статистической надежностью или уровнем
вероятности Р, т.е. отношение числа случаев с данным событием
п к числу всех возможных случаев N или вероятностью
появления значения признака, лежащего в области µ ± t δ.
• Вероятность того, что значение варьирующего признака
находится вне указанных пределов, называется уровнем
значимости или ошибка.
• Следовательно, чем больше уровень вероятности, тем меньше
уровень значимости и наоборот.
• В практике агрономических исследований используют
вероятности 0,95 -95 % и 0,99 -99 %, которым соответствует 0,05
– 5 % и 0,01 - 1%-ный уровни значимости.

26. Процент наблюдений, ограниченный кривой нормального распределения