Лекция №5

1. РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ «РУДН»

Лекция №5
Растяжение и сжатие:
1. Механические свойства конструкционных материалов
2. Напряжения и деформации с учетом собственного веса
4. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

2.

Механические свойства конструкционных материалов
Чтобы оценить прочность, жесткость и устойчивость элементов
конструкций
необходимо
располагать
величинами,
характеризующими основные механические свойства материалов,
которые входят в расчетные формулы. К таким величинам относятся
модуль нормальной упругости Е, коэффициент Пуассона μ, модуль
сдвига G, характеристики прочности и пластичности.
Для определения указанных механических характеристик сталей, а
также других материалов в лабораторных условиях проводят
специальные испытания на растяжение, сжатие, кручение, срез,
смятие, скалывание и т.п. Однако основными являются испытания
на растяжение и сжатие цилиндрических образцов.

3.

Напряжения и деформации с учетом собственного веса
Определим напряжения и деформации в призматическом стержне в учетом
собственного веса. Стержень длиной l и площадью поперечного сечения F
изготовлен из материала плотностью γ (рис. 3.7 а, в, с).
На расстоянии z от точки приложения нагрузки
проведем сечение 1:1 и рассмотрим в равновесии
нижнюю часть стержня. Вес отсеченной части
dz
Qz = Fγz
z
z
Nz
2
1
2
1
l
Продольное усилие Nz найдем как:
Nz – Qz – P = 0 или Nz = Qz + P
Напряжение
N z P Qz P zF
0 z
F
F F
F
F
0 z l; z = 0,
σz =
P
= σ0; z = l, σz = σ0 + γl;
F
1
1
Qz
z
ΣFz = 0
0+ l
l
P
P
a)
b)
Рис. 3.7
z
0= P
F
c)

4.

Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
Закрепим груз P с помощью двух стержней 1 и 2 (рис. 3.19а). Неизвестные
усилия в стержнях можно определить, рассмотрев в равновесии узел «А»
(рис. 3.19в). Записав два уравнения, статики найдем усилия N1 и N2.
ΣFz = 0
N1 cos α + N2 cos α – P = 0,
отсюда N1 = N2
2N1 cos α = P, или N
P
2cosα
Теперь добавим в узел «А» вертикальный стержень 3 (рис.3.19в). Три
неизвестные усилия N1, N2 и N3 нельзя найти с помощью двух уравнений
статики (система сил сходящая). В этом случае говорят, что задача
статически не определима.
Статически неопределимой называется такая система, усилия в которой не
возможно определить с помощью уравнений статики.

5.

z
z
1
N1
z
2
N2
N1
1
N2
x
N1
3
2
N3 N
2
c
A
P
P
P
a)
б)
в)
Рис. 3.19

6.

Уравнения перемещений (деформаций) - дополнительные уравнения, которые
составляют для решения статически неопределимых систем.
Количество таких уравнений соответствует степени статической
неопределимости системы.
Степень статической неопределимости η для простых случаев загружения
можно определить как (рис. 3.20 и 3.21):
А) Сходящая система сил η = S – 2U
S – число стержней;
U – количество внутренних узлов.
Для системы, изображенной на (рис 3.20) η = 5 - 2·2 = 1, следовательно,
система один раз статически неопределима.
В) Плоская система сил η = n - 3
n – количество неизвестных;
3 – количество уравнений статики для плоской системы сил.
Для системы, изображенной на (рис 3.21) η = 5 – 3 = 2, следовательно,
система два раза статически неопределима.

7.

A) Сходящая система сил
В)Плоская система сил
RA
N2
N1
HA
P
N3
P
Рис. 3.20
Рис. 3.21

8.

N
N
l
N
l
Рис. 3.22
При решении таких задач необходимо следить за тем,
чтобы
соблюдалось
условие
совместности
перемещений (рис.3.22).
l при растяжении стержень должен удлиняться,
при сжатии стержень должен укорачиваться.
Если на схеме перемещений это условие не
выполняется, перед соответствующей деформацией
N
ставится знак минус.
При решении статически неопределимых задач
l рассматривают следующие три стадии:
•Статическая сторона задачи,
•Геометрическая сторона задачи,
•Физическая сторона задачи.
Рассмотрим решение статически неопределимых задач на следующих примерах.

9.

Пример № 3.2
1
2
2F
RA
P
A
F
B
C
2
b
1 a
l
Рис. 3.23
RC
Определить напряжения на участках ступенчатого
бруса, закрепленного двумя концами, от действия силы Р
(рис. 3.23).
Данная задача один раз статически неопределима, так
z
как для нахождения двух неизвестных реакций Ra и Rc
имеем только одно уравнение статики (система сил
линейная).
•Статическая сторона задачи
ΣFz = 0
Ra + Rc = P
(a)
•Геометрическая сторона задачи
До приложения нагрузки длина стержня равнялась l. Так
как в точках А и В стержень защемлен, то и после
приложения нагрузки длина останется прежней.
Следовательно, Δl = 0.
Учитывая, что общая деформация состоит из деформаций
двух участков, запишем:
Δlобщ = Δla + Δlb = 0.

10.

1
RA
Na
z
1
RA
P
2
2
Рис. 3.24
Nв
Физическая сторона задачи:
Заменяем деформации через усилия по
закону Гука:
N a l a N b lb
(b)
0 , отсюда Nala + 2Nblb = 0
2EF
EF
Пользуясь методом сечений, выразим усилия Na
и Nb через реакцию Ra, чтобы не решать систему двух
z уравнений (рис.3.24).
Подставим найденные значения усилий в уравнение (b).
Rala + 2·(Ra - P)lb =0, Отсюда Ra
2Plb
l a 2lb
Теперь можно найти неизвестные усилия, подставив найденное значение реакции в
уравнения (с) и (d):
2 Plb
Na = Ra =
l a 2lb
Pl a
Nb = Ra – P = –
l a 2lb