Задачи

1. Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

2.

• При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает
задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к
понятию
производной,
являющемуся
основным
понятием
дифференциального
исчисления.
Метод
дифференциального
исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода
связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.
Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при
решении задач о скорости движения материальной точки в данный
момент времени (мгновенной скорости).
• При изучении изменяющихся величин очень часто возникает вопрос о
скорости, о быстроте происходящего изменения. Так мы говорим о
скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости
падения камня, вращения шкива и т.д. Можно говорить о скорости
выполнения определенной работы, о скорости протекания химической
реакции, о быстроте роста населения в данном городе. О скорости
можно говорить по отношению к любой величине, которая изменяется
с течением времени. Для всего этого используется понятие
производной. Применение производной для решения задач требует от
учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание
нестандартных методов и приемов решения задач способствует
развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно
применять также и в других сферах человеческой деятельности
(вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.).
Рассмотрим на примерах применение.

3. Физический смысл производной

Физический
смысл
производной
заключается
в
следующем:
производная функции y= f(x) в точке x0 - это скорость изменения
функции f (х) в точке x0.
Производная применяется в физике для нахождения скорости по
известной функции координаты от времени, ускорения по известной
функции скорости от времени.
v(t) = x'(t) - скорость,
a(t) = v'(t) - ускорение, или a(t) = x"(t).

4.

5. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ:

• v(t) = х (t) – скорость – производная от пути
• a(t) = v (t) – ускорение – производная от скорости
• I(t) = q (t) - сила тока – производная от количества электричества
• C(t) = Q (t) – теплоемкость – производная от количества теплоты
• (t)= (t) - угловая скорость – производная от угла поворота
• а(t)= (t) - угловое ускорение – производная от угловой скорости
• N(t) = A (t) – мощность – производная от работы
• р (l) =m (l) - линейная плотность – производная от массы стержня
длиной l.
• K (t) = l (t) - коэффициент линейного расширения

6. ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

• P(t) = V (t) – производительность труда – производная от объема
продукции
• J(x) = Y (x) - предельные издержки производства - производная от
объема выпускаемой продукции.

7. Пример 1

Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t
по закону f(t)=0,1t2-0,5t+0,2. Найдите угловую скорость вращения тела в
момент времени t1=20 с.
РЕШЕНИЕ
Угловая скорость вращения тела равна первой производной от угла
поворота по времени
w(t ) = f (t)
f (t) = 0,2t - 0,5
w(t 1) = f (t1) = (0,2 20 - 0,5)рад/с = 3,5 рад/с
Ответ: 3,5 рад/с

8. Пример 2

Вычислить силу тока I, который несет на себе
заряд, заданный зависимостью q=qm cos ω0t (Кл)
через поперечное сечение проводника.
РЕШЕНИЕ
I (t) = q (t), I = q = -qmω0sinω0t

9. Пример 3

Сигнальная ракета летит вертикально вверх так, что её движение описывается законом
(t) = 98t – 4,9t2 (время t — в секундах, расстояние s — в метрах). Найдите:
а) скорость ракеты через 5 секунд движения;
б) на какую максимальную высоту долетит ракета?
Решение:
а) Найдём скорость ракеты в любой момент времени как производную от функции s(t):
(t) = s (t), либо (t) = (98t – 4,9t2) = 98 – 9,8t.
Тогда (5) = 98 – 9,8 5 = 98 – 49 = 49 (м/с).
б) Найдём точку экстремума функции s(t) решив уравнения s (t) = 0,
или 98 – 9,8t = 0. Отсюда t = 10 (с).
Если t < 10, то s'(t) > 0,
Если t > 10, то s (t) < 0.
Итак t = 10 с — точка максимума. Тогда s(10) = 98 10 – 4,9 102 = 490 (м).
О т в е т. а) 49 м/с; б) 490 м.

10. Пример 4

Количество теплоты Q(t), которое необходимо для нагревания воды
массой 1 кг от 0 °С до температуры t °С (0° ≤ t ≤ 95), приближённо
можно определить по формуле Q(t) = 0,396 t + 2,081 10– 3t2 – 5,024
10– 7t3.
Установите зависимость теплоёмкости воды С(t) от температуры.
Р е ш е н и е.
С(t) = Q (t) = (0,396 t + 2,081 10 – 3t2 – 5,024 10– 7t3)' =
= 0,396 + 4,162 10– 3t – 15,072 10– 7t2.

11. Пример 5

Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t2 + t + 1 (время t
— в секундах, координата х — в метрах).
Найдите: а) кинетическую энергию тела через 5 с после начала движения;
б) силу, действующую на тело в это время.
Ре ш е н и е:
mv2
а) Кинетическая энергия тела определяется формулой Е =
, где m – масса
2
тела, а – скорость. Найдем скорость тела (t) в любой момент времени и
через 5 с после начала движения — (5).
(t) = x (t) = (t2 + t + 1) = 2t + 1, (5) = 2 5 + 1 = 11 (м/с).
mv2 10 ∙ 112
Тогда Е =
=
= 5 121 = 605 (Дж).
2
2
б) Сила, действующая на движущееся тело, определяется формулой F = mа.
Найдём
ускорение тела а(t) в любой момент времени и через 5 с после
начала движения — а( 5).
а(t) = (t) = (2t + 1) = 2 (м/с2), а(5) = 2 (м/с2). Тогда F = mа = 10 2 = 20 (Н).
Ответ, а) 605 Дж; б) 20 Н.

12. Задание 1

Тело движется по закону S = 2 + 20t – 3t2.
Найдите скорость точки в момент времени t = 2 с.
(S измеряется в метрах).

13. Задание 2

Тело, массой 4 кг, движется по закону x(t) = 2t3 – 2t2 + 3,
где x(t) – измеряется в метрах, время t – в секундах.
Найдите силу, действующую на тело в момент времени
t = 2 с.

14. Задание 3

Забором длиной 80 м необходимо огородить участок
прямоугольной формы наибольшей площади. Найдите
размеры.

15. Задание 4

Как зависит производительность труда молодого
работника от времени работы, если объём
изготовленной им продукции выражается формулой
V(t) = 10 + 6t2 – t3?

16. Задание 5

Работа, которую выполняет двигатель, определяется
формулой A(t) = 15t2 + 360 (A(t) измеряется в
джоулях, t - в секундах). Какую мощность развивает
этот двигатель в момент времени t?

17. Задание 6

2 3
2
Тело движется прямолинейно по закону s(t) = 6 + 4t – t
( путь s – в метрах, время t – в секундах). Определите
кинетическую энергию тела в тот момент, когда его
скорость станет наибольшей (m = 2 кг).
3

18. Задание 7

Через поперечное сечение проводника в каждый
момент времени t проходит заряд q(t) = 5 2