Решение практических задач с помощью производной

1.

2. Отгадайте ключевое слово урока

1) С ее появлением математика
перешагнула из алгебры в
математический анализ;
2) Ньютон назвал ее «флюксией» и
обозначал точкой;
3) Бывает первой, второй,… ;
4) Обозначается штрихом.

3. Что называется производной?

Производной функции в данной точке называется
предел отношения приращения функции в этой
точке к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю.
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x) lim
x 0
x

4.

1.
2.
х
С
8.
7.
еx
13.
19.
1
arcctg x
31.
cos x
15.
tg x
1
x ln 10
26.
1
1 x2
32.
1
х
27.
lnx
1 x
2
1
2 х
23.
nxn-1
1
cos 2 x
1
x ln a
1
1 x2
X
1 x2
17.
22.
34.
ctgx
cos x
0
6.
1
sin x
28.
33.
5.
11. 1
16.
lgx
21.
1
2
sin x
10.
аx
arcsin x
20.
25.
x
9.
14.
xn
4.
3.
12.
axlna
18.
arccos x
24.
logax
29.
- sin x
30.
1
х
36.
1
2
х
arctg x
35.
ex

5. О Т В Е Т Ы

ОТВЕТЫ
ГРУППА I
ГРУППА II
5 1 2 43
2 1 5 3 4
ГРУППА III
ГРУППА IV
5 1 4 3 2
4 3 2 5 6 1

6. Решение практических задач с помощью производной

7. Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, И я научусь Конфуций

Производная в технике,
физике, химии, экономике. . .»
«…нет ни одной области в
математике, которая когдалибо не окажется
применимой к явлениям
действительного мира…»
Н.И. Лобачевский
Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Дай мне действовать
самому,
И я научусь
Конфуций

8.

Тангенс угла наклона
касательной к графику
некоторой функции равен
значению производной в
абсциссе точки касания
Уравнение
касательной к
графику
некоторой
функции в точке с
абсциссой а имеет
вид:
Y=f(a)+f’(a)(x-a)
f ‘(x)

9.

Применяется при вычислении
угла наклона орудия, при
определении калибра орудия,
при расчете траектории полета
снаряда.
1. Снаряд движется по
траектории, заданной
формулой у=4х³-3х+5.
Каков будет угол
наклона в точке с
абсциссой х0=0,5
f ‘(x)

10.

f ‘(x)
Применяется при расчете скорости и ускорения
машины, величины тормозного пути, при
выявлении нарушений при движении
автомобиля.

11.

Машина движется по автостраде
так, что расстояние от начальной
точки изменяется по закону S=5t-0,5t²
(м), где t – время движения в секундах.
Найдите скорость тела через 2
секунды после начала движения.

12.

Из города выезжают 2 автомобиля и
некоторое время движутся по законам
s1(t) = -t²+6t и s2(t)=4t. Какое
расстояние будет между ними, когда их
скорость станет одинаковой?

13.

Рокер движется по прямой дороге г.
Набережные Челны так, что
расстояние S до него от поста ГАИ
изменяется по закону S=4+3t-0,5t² (м),
где t – время движения в секундах.
Рассчитайте тормозной путь его
мотоцикла.

14. Примеры физических величин и их производных

Плотность-производная массы по
объёму
Сила-производная работы по
перемещению
Мощность-производная работы по
времени
Скорость-производная координаты по
времени

15.

Ускорение-производная скорости по
времени
Давление-производная силы по
площади
ЭДС индукции-производная магнитного
потока по времени
Сила тока-производная заряда по
времени

16. Задача№1

Скорость школьного автобуса
массой 5 т возрастает
по
закону υ = 0,1t3 + 0,2t.
Определить равнодействующую
всех сил, действующих на него
в момент времени 2 с.
Решение
F ma m
F m(0,1t 3 0,2t ) m(0,3t 2 0,2)
F 5000(0,3 4 0,2) 7000( Н ) 7кН

17. Задача№2

Уравнение колебаний тела на
пружине имеет вид x = 5cos 2t.
В какой ближайший момент
времени скорость тела будет
максимальной?

18.

1. Пусть Q (t) количество теплоты, которое
необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 00С
до температуры t0 (по Цельсию), известно, что в
диапазоне 00 <= t <= 950, формула
Q (t) = 0,396 t + 2,081 10-3 t2 - 5,024 10-7 t3
дает хорошее приближение к истинному значению.
Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.
C (t) = Q (t) = 0,396 + 4,162 10 -3 t – 15,072 10 -7 t2

19.

20. Задача по химии:

Пусть количество вещества,
вступившего в химическую
реакцию задается зависимостью:
р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
Найти скорость химической
реакции через 3 секунды.

21.

Решение:
Понятие на
языке химии
Обозначение
Понятие на языке
математики
Количество вва в момент
времени t0
p = p(t 0)
Функция
Интервал
времени
∆t = t– t0
Приращение
аргумента
Изменение
количества вва
∆p= p(t0+ ∆ t )
– p(t0)
Приращение функции
∆p/∆t
Отношение
приращёния функции
к приращёнию
аргумента
Средняя
скорость
химической
реакции
V (t) = p ‘(t)

22. Задача №3

Количество
вещества,
получаемого в химической
реакции, зависит от времени
следующим
образом :
Q = a (1 + be –kt)
Определите скорость
реакции.
Решение
dQ
kt
kt
Q (a abe ) abke
dt

23.

24. Задача по биологии:

По известной зависимости
численности популяции x (t)
определить относительный
прирост
в момент времени t.

25. Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно

26. Решение:

Понятие на языке
биологии
Численность в
момент времени t1
Интервал времени
Изменение
численности
популяции
Скорость
изменения
численности
популяции
Относительный
прирост в данный
момент
Обозначение
x = x(t)
Понятие на языке
математики
Функция
∆t = t2 – t1
Приращение
аргумента
∆x = x(t2) – x(t1)
Приращение
функции
∆x/∆t
Lim
t
∆x/∆t
0
Р = х‘ (t)
Отношение
приращения
функции к
приращению
аргумента
Производная

27.

28.

Задача :
Вывести формулу для
вычисления
численности
населения на
ограниченной
территории в
момент времени t.

29. Решение:

Пусть у=у(t)- численность населения.
Рассмотрим прирост населения за t=t-t0
y=k y t, где к=кр – кс –коэффициент прироста
(кр – коэффициент рождаемости,
кс – коэффициент смертности)
y/ t=k y
При t 0 получим lim y/ t=у’
у’=к у

30. Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество
электричества, протекающее через поперечное
сечение проводника за время t.
Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq =
q(t+Δt) – q(t) – количество электричества,
протекающее через указанное сечение за
промежуток времени от момента t до момента t +
Δt. Тогда отношение q называют средней силой
t
тока.
Мгновенной силой тока в момент времени t
называется предел отношения приращения
количества электричества Δq ко времени Δt, при
условии, что Δt→0.
q
I (t ) lim I ср lim
t 0
t 0 t

31. Экономические задачи

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а
хколичество продукции, тогда x- прирост продукции, а y приращение издержек производства.
В этом случае производная lim
x 0
y
x
выражает предельные
издержки производства и характеризует приближенно
дополнительные затраты на производство дополнительной
dTC
единицы продукции MC
,где MC – предельные
dQ
издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q
- количество.C(t)СС

32. Экономические задачи

Пусть функция u(t) выражает количество
произведенной продукции за время t. Найдем
производительность труда в момент t0.
За период от t0 до t0+ t количество продукции
изменится от u(t0) до u0+ u = u(t0+ t). Тогда средняя
производительность труда за этот период
u
z
t
поэтому производительность труда в момент t
0
u
z lim
t 0 t

33.

Применение производной:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Мощность – это производная работы по времени
P = A' (t).
Сила тока – производная от заряда по времени
I = g' (t).
Сила – есть производная работы по перемещению
F = A' (x).
Теплоемкость – это производная количества теплоты
по температуре C = Q' (t).
Давление – производная силы по площади P = F'(S)
Длина окружности – это производная площади круга по
радиусу lокр=S'кр(R).
Темп роста производительности труда – это производная
производительности труда по времени.
Успехи в учебе? Производная роста знаний.

34. Задания ЕГЭ ( В8 )

35. В8

36. В8

37. В8

38. В8

39. В8

40. В8

41.

К ЭКЗАМЕНУ СЛЕДУЕТ
ГОТОВИТЬСЯ ОЧЕНЬ
СЕРЬЕЗНО !!!
Дальнейших
успехов в
достижении
поставленной
цели !!!

42. Итоги урока

Продолжите фразу:
«Сегодня на уроке я узнал…»
«Сегодня на уроке я научился…»
«Сегодня на уроке я
познакомился…»
«Сегодня на уроке я повторил…»
«Сегодня на уроке я закрепил…»