Задачи, приводящие к понятию производной.
Производная
Задача 1 (о скорости движения).
Приращение функции и приращение аргумента
Задача: Определить положение касательной (tgφ)
Понятие производной
Понятие производной
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Таблица производных
Правила нахождения производной
Правила нахождения производной
Правила нахождения производной
Производная сложной функции
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Закрепление изученного материала.
3.29M
Category: mathematicsmathematics

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Y
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

2.

► К понятию производной можно прийти,
рассматривая, например, такое широко
используемое в физике понятие, как
мгновенная скорость неравномерно
движущегося тела.
► Мгновенной скоростью тела называют
скорость, которую оно имеет в данный
момент времени (в данной точке траектории)

3. Производная

Центральные понятия дифференциального исчисления
– производная и дифференциал возникли при
рассмотрении большого числа задач естествознания и
математики, приводивших к вычислению пределов
одного и того же типа. Важнейшие среди них –
физическая задача определения скорости
неравномерного движения и геометрическая задача
построения касательной к кривой.

4. Задача 1 (о скорости движения).

По прямой, на которой заданы начало отсчета,
единица измерения (метр) и направление,
движется некоторое тело (материальная точка).
• Закон движения задан формулой s=s (t), где t —
время (в секундах), s (t) — положение тела на
прямой (координата движущейся материальной
точки) в момент времени t по отношению к
началу отсчета (в метрах).
• Найти скорость движения тела в момент
времени t (в м/с).

5.

Пусть в некоторый момент времени времени t,
точка занимает положение М: OM = x= S(t),
через время Δt, т.е. в момент t + Δt, точка
окажется в M1, где
ОM1 = S + ΔS = S(t +Δt).
За время Δt, точка проходит путь
ΔS = S(t + Δt) – S(t).

6.

7. Приращение функции и приращение аргумента

y
y=f(x)
приращение аргумента:
∆х = х - х0
f(x)=f(x0+∆x)
(1)
Приращение функции :
∆f
∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2)
f(x0)
∆f = f(x)-f(x0)
(3)
x
x0
∆x
x =x0+∆x Т.е.,Дана
значение
функция
функции
f(x)
изменилось
на
величину
f(x)Первоначальное
Пусть
В окрестности
х0-между
фиксированная
значение
точки
Расстояние
точками
хи
Функция
f(х)
тоже
примет
f(xаргумента
0точка,
)=хf(x
0 +∆x)-f(x
0),КОТОРАЯ
0 возьмём
f(х0)получило
значение
точку
х
хНАЗЫВАЕТСЯ
0 обозначим ∆х.Оно называется
ФУНКЦИИ
новое
значение:
0+∆x)
приращение
функци
вПРИРАЩЕНИЕМ
точке
∆х, иf(x
хновое
0
приращением
аргумента
и
И ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆f
значение
х равно
х0+∆х
равно
разности
между
х и х 0:

8.

9. Задача: Определить положение касательной (tgφ)

y f x
у
f(x) =f(x0+∆x)
М
Пусть дан график функции
f(х) и касательная,
Будем
перемещать
Отметим
точку М, точку М
проходящая
через
точку
М0её
вдоль
Черезграфика,
точки
Мприближая
иМ
0
координаты
которой
КА,которая
чему
будет
стремиться
к
какому
углу
будет
с
кпроведём
точке Мобразует
0.секущую,
Соответственно
рассмотрим
как
приращение
аргумента?
стремиться
уголположение

положительным
будет
меняться
которая
образует
приращение
координат
При
этом
координата
х
направлением
оси
ОХ
угол
φ
секущей
ММ
0
осьюМОХ
стремиться
точки
0М угол
точки
будет
к х0
∆f
М0
f(x0)
φ
0
х
х0
х =x0+∆x
∆x
Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0,
приближается к положению касательной
Предельным положением секущей МоМ,
когда М неограниченно приближается к
Мо, является касательная
x xo x 0
f x0 x f x0
lim
k tg lim tg x 0
x

10. Понятие производной

Производной функции у = f(x), заданной на некотором
интервале (a; b), в некоторой точке х этого
интервала называют предел отношения приращения
функции в этой точке к соответствующему
приращению
аргумента,
когда
приращение
аргумента стремится к нулю.
∆f
f ′(x) = lim
∆x→0 ∆x
Нахождение производной называют дифференцированием

11. Понятие производной

у
∆f
f ′(x) = lim
∆x→0 ∆x
f(x0)
у = f(x)
∆f
f(x0 + ∆х)
∆х
0
х0
х0+ ∆х
х

12.

Алгоритм нахождения
производной
1. Зафиксировать значение х0, найти f(x0).
2. Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в
новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х).
3. Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
∆f
4. Составить отношение
.
∆х
∆f
5. Вычислить lim
.
∆x→0 ∆х
6. Этот предел и есть f ′(x0).

13. Примеры

1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo
1. f x o kxo b
2. f x o Δx k x o Δx b
3. Δf f x o Δx f x o k x o Δx b kxo b
kxo k Δx b kxo b k Δx
Δf
k Δx
4.
k
Δx
Δx
Δf
5. lim
lim k k
Δx 0 Δ x
Δx 0
kx b k

14. Примеры

2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo
1. f xo С
2. f x o Δx С
3. Δf f x o Δx f x o С С 0
Δf
0
4.
0
Δx Δx
Δf
5. lim
lim 0 0
Δx 0 Δ x
Δx 0
С 0

15. Примеры

3. Найти производную функции y = x2 в точке хo
1. f xo xо
2
2. f xo Δx xo Δx
2
3. Δf f x o Δx f x o x o Δx x o
2
2
x о2 2 x o Δx Δx 2 x о2 2 x o Δx Δx 2
2x o Δx Δx 2 Δx 2 x o Δx
Δf
4.
2 x o Δx
Δx
Δx
Δx
Δf
5. lim
lim 2 x o Δx 2 x o
Δx 0 Δ x
Δx 0
x 2х
2

16. Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке хo
1. f x o x o
2. f x o Δx x o Δx
3. Δf f x o Δx f x o x o Δx x o
x Δx x x Δx x x Δx x
2
o
o
o
o
x o Δx x o
x o Δx x o
x o Δx x o
Δf
4.
Δx Δx
o
2
o
x o Δx x o
Δx
x o Δx x o
Δx
x o Δx x o
1
x o Δx x o

17. Примеры

4. Найти производную функции y = √x в точке хo
Δf
4.
Δx Δx
Δx
x o Δx x o
1
x o Δx x o
Δf
1
1
5. lim
lim
2 x
Δx 0 Δx
Δx 0 x Δx
x
o
o
o
x
1
2 х

18. Примеры

5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo
Δf
Δx
1
4.
2
2
Δx Δx x о x o Δx
x о x o Δx
Δf
1
1
2
5. lim
lim 2
Δx 0 Δx
Δx 0 x x Δx

o
о
1
1
2
х
х

19. Таблица производных

f (x)
C
f ′(x)
0
f ′(x)
1/(2√x)
k
f (x)
√x
ex
kx + b
x2
2x
ax
ax lna
xn
nxn–1
tg x
1/cos2x
1/x
– 1/x2
ctg x
– 1/sin2x
sin x
cos x
ln x
1/x
cos x
– sin x
loga x
1/(x lna)
ex

20. Правила нахождения производной

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в
этой точке производную, причем
(u + v)′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С –
данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой
точке производную, причем
(Сu)′ = С∙u′

21. Правила нахождения производной

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также
имеет в этой точке производную, причем
(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и
1
v(x) ≠ 0, то функция
также имеет в этой точке
v(x)
производную, причем
()
v′
1′
=– 2
v
v

22. Правила нахождения производной

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
u(x)
производные и v(x) ≠ 0, то функция
также имеет
v(x)
в этой точке производную, причем
( )
u ′
u′v – uv′
v =
v2

23. Производная сложной функции

Сложная функция: y g f x .
y f 5;
Примеры: 1) y 3 x 2 x .
2
2
5
f 3 x 2 x.
2) y sin x .
y f;
f sin x.
Правило нахождения производной сложной функции
/
/
/
g f x g f f x
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Слайд №
23

24. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
простой
функции
Сложная
функция
1
f x
1
x
1
2
x
1
1
Пример:
1) y
. y ;
f
sin x
f / sin x.
Производная сложной функции
/
f
x
1
/
2
f x 2
f x
f x
1
1
cos x
/
1
№ sin x 2 cos x 242 .
y
sin 2Слайд
x
sin x
sin x
sin x
/

25. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция:y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
x
Пример:
Производная
простой
функции
Сложная
функция
1
f x
2 x
Производная сложной функции
1
2 f x
f / x
f / x
2 f x
1) y 2 x 3 x . y f ;
f 2 x 3 x.
1) y 2 x x .
3
1
2 2x x
3
2 x 1
3
Слайд №
/
6x2
2x 2x 1
2
3x
2 x2 1
.
25

26. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция:y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
простой
функции
Сложная
функция
Производная сложной
функции
sin x
cos x
sin f x
cos f x f / x
Пример:
1) y sin 2 x .
3
y sin f ;
f 2x .
3 /
y sin 2 x cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .
3
3
3
3
/
/
Слайд №
26

27. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Простая
функция
Производная
простой
функции
Сложная
функция
Производная сложной функции
n
nx n 1
f n x
n f n 1 x f / x
1
x
1
2
x
1
f x
x
2 x
f x
sin x
cos x
sin f x
cos f x f / x
cos x
sin x
cos f x
sin f x f / x
tgx
1
2
cos x
tgf x
/
f
x
1
/
f x
2
cos f x
cos 2 f x 27
x
1
Слайд №
f / x
2
f x
f / x
2 f x

28. Закрепление изученного материала.

Вычислите производные:
4
у
(
x
3
)
1)
2) у ( х 3 х 2 11)3
3) у sin( 5 x 3)
4) у cos10 x
5) у tg 4 x
6)
Слайд №
у х2 1
28

29.

у ( 2 3 х)8
у 5х 2 3
у (2 х 3) 4
Слайд №
29
English     Русский Rules