Производная. Задачи, приводящие к понятию производной

1.

2.

1. Задача о касательной
Пусть на плоскости XOY задана непрерывная
кривая y=f(x).
Необходимо найти уравнение касательной к этой
кривой в точке M0(x0,y0).

3.

Дадим аргументу x0 приращение Δx и перейдем на
кривой от точки M0(x0, f(x0)) к точке M1(x0+Δx,
f(x0+ Δx)).
Проведем секущую M0M1.
Под касательной к кривой y=f(x) в точке
M0 (x0 ,y0 ) понимают предельное положение
секущей M0 M1 при приближении точки M1
x
0
к точке M0 , т.е. при

4.

y f (x)
y
M1
y0 y
M0
y0
N
x0
x0 x
x

5.

Уравнение прямой, проходящей через точку M0
имеет вид:
y f ( x0 ) k ( x x0 )
Рассмотрим прямоугольный треугольник M0M1N:
kM
0 M1
y
tg
x
- угловой коэффициент секущей M0M1.

6.

Тогда угловой коэффициент касательной к
кривой в точке M0 :
k lim kM M
x 0
0
1
y
lim
x 0
x

7.

2. Задача о скорости
движения
Пусть вдоль некоторой прямой движется точка
по закону S=S(t), где S – пройденный путь, t –
время движения.
Требуется найти скорость в момент времени t0 .

8.

На момент времени t0 пройденный путь составит
S0=S(t0), на момент времени t0+Δt пройденный
путь составит S0+ΔS=S(t0 +Δt ).
Тогда за промежуток
скорость составит:
времени Δt средняя
S
vср
t
Чем меньше Δt, тем лучше средняя скорость
характеризует движение в момент t0.

9.

Поэтому под скоростью точки в момент времени
t0 понимают:
S
v lim vср lim
t 0
t 0
t

10.

3. Задача о
производительности
труда
Пусть функция u=u(t) выражает количество
произведенной продукции u за время t.
Требуется найти производительность труда
момент времени t0 .
в

11.

За период от t0 до t0+Δt количество произведенной
продукции изменится от u0=u(t0) до u0+Δu=u(t0
+Δt ).
Тогда за промежуток
времени Δt средняя
производительность труда составит:
u
zср
t
Чем меньше Δt, тем лучше
средняя
производительность труда
характеризует
производительность в момент t0.

12.

Производительность труда в момент t0 есть
предельное
значение
средней
производительности
за период времени от t0 до
x 0
t0 +Δt при
u
z lim zср lim
t 0
t 0
t