Понятие производной. Решение задачи Коши

1.

Понятие производной.
Решение задачи Коши.
Метод Эйлера
- с пересчетом
- усовершенствованный
Метод Рунге-Кутта
Метод Адамса
Метод предиктор-корректор

2. Понятие производной (физический смысл)

Понятие производной
S, V
(физический смысл)
A
V
M
S V *t
S
B
V=const
t
S, V, а
S V0 a * t
V
V=var
1. Скорость V определяет величину
(закон) нарастания пути.
2 Ускорение а определяет величину
( закон) нарастания (изменения) скорости.
S
a
t

3. Понятие производной

y x
2
x x0 x
y yx x
y x y x0
?
x0 x x
2
2
0
2x0 x x
y x0
M
y x0
2
0
х0 х0 + ∆х
x

4. Определение производной

Производной функции y = f(x) в точке x0
называется предел отношения приращения
функции в точке x0 к приращению
аргумента при условии, что приращение
аргумента стремится к нулю.
f x0 lim
x 0
f x0
x
Операция отыскания производной функции
называется дифференцированием.

5. Дифференциальные уравнения

6.

дополнительные условия.
Конец раздела

7. Задача Коши. Метод Эйлера

Заменим производную на
приращение
h – шаг по х
Конец раздела

8. Задача Коши. Метод Эйлера

В результате получена табулированная функция, удовлетворяющая
решению дифференциального уравнения. При необходимости
получения функции в аналитическом виде она аппроксимируюется
известными методами.
Конец раздела

9. Задача Коши. Метод Эйлера с пересчетом

Данная схема является неявной, поскольку
левую части.
yi 1
входит в правую и

10.

Метод Эйлера с пересчетом имеет меньшую погрешность.
Усовершенствованный метод Эйлера
Остальные значения вычисляются аналогично
Конец раздела

11. Задача Коши. Метод Рунге-Кутта

Конец раздела

12. Сравнительная оценка методов решения задачи Коши

Решим задачу Коши следующими методами:
1. Метод Эйлера.
2. Метод Эйлера с пересчетом.
3. Усовершенствованный метод Эйлера.
4. Метод Рунге-Кутта.
5. Аналитическим методом.

13.

18%
1,1%
1,3%
ПОГРЕШНОСТЬ МЕТОДА
0,003%
Конец раздела

14.

Задача Коши. Метод Адамса
Метод Адамса более экономичен чем метод Рунге-Кутта при той же
точности, но для вычисления значений Y0, Y1, Y2, Y3 нужно
Воспользоваться другими методами,
например Эйлера или Рунге-Кутта.
Конец раздела

15. Метод прогноза и коррекции (метод предиктор-корректор)

1 этап - предикатор
2 этап - корректор
Значения Y0,Y1,Y2,Y3
вычисляются другими методами
Предиктор рассчитывается один раз,
корректор вычисляется итерационно
Конец раздела