Построение параболы по алгоритму

1.

Построение параболы
по алгоритму
Алгебра, 8 класс
Квадратичная функция y = ax² + bx + c
5 шагов к успеху

Что такое квадратичная функция?
График функции
Определение
Квадратичная функция — это функция вида:
y = ax² + bx + c
где a ≠ 0
График квадратичной функции называется параболой.
Это кривая линия, имеющая форму буквы U или перевернутой U.
Пример 1:
y = x²
a
b
Старший коэффициент
Определяет направление ветвей
Второй коэффициент
Влияет на положение вершины
(a = 1, b = 0, c = 0)
Пример 2:
y = 2x² - 3x + 1
(a = 2, b = -3, c = 1)
Пример 3:
c
Свободный член
y = -x² + 4
Точка пересечения с осью OY
(a = -1, b = 0, c = 4)

3.

Как выглядит парабола?
Основные свойства
Форма
Парабола имеет форму буквы U или перевернутой U
Вершина
Имеет вершину — наивысшую или наинизшую точку
Симметрия
Симметрична относительно вертикальной оси через вершину
Ветви
Имеет две ветви, уходящие в бесконечность

4.

Как выглядит парабола?
Ветви направлены вверх
Ветви направлены вниз
Когда a > 0
Когда a < 0
Вершина — точка минимума
Вершина — точка максимума
Пример: y = x²
Пример: y = -x²

5.

Влияние коэффициента a
a>0
a<0
|a|
Ветви вверх
Ветви вниз
Ширина параболы
Вершина — минимум
Вершина — максимум
Чем больше |a|, тем уже
Примеры: a > 0
Примеры: a < 0
y = 2x² — узкая, вверх
y = -2x² — узкая, вниз
y = x² — нормальная, вверх
y = -x² — нормальная, вниз
y = 0.5x² — широкая, вверх
y = -0.5x² — широкая, вниз

6.

Алгоритм построения параболы
5 шагов к успеху
1
2
3
4
5
Вершина
Ось симметрии
Нули функции
Точки
Парабола
Находим вершину по
Проводим ось через
Находим нули (если
формуле
вершину
есть)
x₀ = -b/(2a)
x = x₀
D = b² - 4ac
Строим симметричные
точки
Проводим через точки
По обе стороны от
Плавная кривая
оси
Важно запомнить!
Следуйте алгоритму последовательно, шаг за шагом. Не пропускайте этапы — каждый шаг важен для правильного
построения!

7.

1
Шаг 1: Нахождение вершины параболы
Формула вершины
Пример 1
y = x² - 6x + 5
Для нахождения x-координаты вершины:
x₀ = -b/(2a)
a = 1, b = -6, c = 5
x₀ = -(-6)/(2·1) = 6/2 = 3
y₀ = 3² - 6·3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4
Вершина: (3; -4)
Шаг 1:
Находим x₀ по формуле
Шаг 2:
Пример 2
y = -2x² + 4x + 1
a = -2, b = 4, c = 1
Подставляем x₀ в функцию, чтобы найти y₀
x₀ = -4/(2·(-2)) = -4/(-4) = 1
Шаг 3:
Записываем координаты вершины (x₀; y₀)
y₀ = -2·1 + 4·1 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3
Вершина: (1; 3)

8.

Шаг 1: Практический пример
1
1
y = x² - 4x + 3
2
y = -2x² + 4x + 1
3
y = 3x² - 12x + 5
Коэффициенты:
Коэффициенты:
Коэффициенты:
a = 1, b = -4, c = 3
a = -2, b = 4, c = 1
a = 3, b = -12, c = 5
Находим x₀:
Находим x₀:
Находим x₀:
x₀ = -(-4)/(2·1) = 4/2 = 2
x₀ = -4/(2·(-2)) = -4/(-4) = 1
x₀ = -(-12)/(2·3) = 12/6 = 2
Находим y₀:
Находим y₀:
Находим y₀:
y₀ = 2² - 4·2 + 3
y₀ = -2·1² + 4·1 + 1
y₀ = 3·4 - 12·2 + 5
y₀ = 4 - 8 + 3 = -1
y₀ = -2 + 4 + 1 = 3
y₀ = 12 - 24 + 5 = -7
Вершина: (2; -1)
Вершина: (1; 3)
Важно!
Не забудьте про минус в формуле x₀ = -b/(2a)! Это самая частая ошибка.
Вершина: (2; -7)

9.

2
Шаг 2: Ось симметрии параболы
Что такое ось симметрии?
Визуализация
Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая
Пример: y = x² - 4x + 3
через вершину параболы параллельно оси OY.
Вершина: (2; -1)
Ось симметрии: x = 2
Уравнение оси симметрии:
x = x₀
Свойство 1
Ось симметрии делит параболу на две зеркально одинаковые
части
Свойство 2
Точки на одинаковом расстоянии от оси имеют одинаковую
ординату y
Свойство 3
Ось симметрии всегда вертикальна (параллельна OY)
Фиолетовая пунктирная линия — ось симметрии x = 2

10.

3
Шаг 3: Нахождение нулей функции
Что такое нули функции?
Нули функции — это точки пересечения графика с осью OX
(абсцисс).
Три случая дискриминанта
D>0
Два нуля
Парабола пересекает ось OX в двух точках
В этих точках значение функции равно нулю: y = 0
D=0
Как найти нули?
Один нуль
Парабола касается оси OX в одной точке (вершина)
Решаем уравнение:
ax² + bx + c = 0
Используем дискриминант:
D = b² - 4ac
D<0
Нет нулей
Парабола не пересекает ось OX

11.

Шаг 3: Примеры нахождения нулей
3
1
Два нуля
2
D>0
Один нуль
D=0
3
Нет нулей
D<0
y = x² - 5x + 6
y = x² - 4x + 4
y = x² + 2x + 3
a = 1, b = -5, c = 6
a = 1, b = -4, c = 4
a = 1, b = 2, c = 3
D = (-5)² - 4·1·6
D = 25 - 24 = 1 > 0
D = (-4)² - 4·1·4
D = 16 - 16 = 0
D = 2² - 4·1·3
D = 4 - 12 = -8 < 0
x₁ = (5 + 1)/2 = 3
x₂ = (5 - 1)/2 = 2
x = 4/2 = 2
√D не существует
Нули: (2; 0), (3; 0)
Нуль: (2; 0)
Нулей нет!
(вершина на оси OX)
График выше оси OX
Важно: Если нулей нет, используйте больше дополнительных точек для построения!

12.

4
Шаг 4: Практический пример симметрии
Еще примеры
Визуализация симметрии
y = x² - 6x + 5
Вершина: (3; -4), ось: x = 3
x = 5 → y = 25 - 30 + 5 = 0
Точка: (5; 0)
Симметрия: x = 3 - 2 = 1 → y = 0
Точка: (1; 0)
✓ Это нули функции!
y = -2x² + 4x + 1
Вершина: (1; 3), ось: x = 1
x = 2 → y = -8 + 8 + 1 = 1
Точка: (2; 1)
Симметрия: x = 1 - 1 = 0 → y = 1
Точка: (0; 1)
Синие точки (0; 3) и (4; 3) симметричны относительно оси x = 2

13.

Шаг 5: Проведение параболы через точки
5
Финальный шаг
1
Отметьте все точки
На координатной плоскости отметьте: вершину, нули (если
Важные правила
Плавная линия
Парабола — это плавная кривая, без углов и изломов
есть), дополнительные точки
Проходит через точки
Линия должна проходить через все найденные точки
2
Соедините точки
Проведите плавную кривую линию через все отмеченные
точки
3
Соблюдайте направление
Ветви должны уходить вверх (a > 0) или вниз (a < 0)
4
Проверьте симметрию
График должен быть симметричен относительно оси x = x₀
Уходит в бесконечность
Ветви параболы продолжаются за пределы построенных точек
Симметрия
Обе части параболы должны быть зеркально симметричны
Совет
Чем больше точек вы построите, тем точнее будет ваш график!

Построение параболы по алгоритму

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.