Лекция 5 — НЛДУ

1. ДУиЧМ

Лекция 5
НЛДУ ВП

2.

Решение неоднородного линейного
дифференциального уравнения (НЛДУ)
Рассмотрим неоднородное линейное
дифференциальное уравнение с переменными
коэффициентами
или в операторной форме Ln[y]=f(x),
(a, b) – интервал непрерывности для этого уравнения.
Уравнение Ln [y]=0 − является соответствующим
однородным уравнением для данного НЛДУ.
2

3.

Теорема (о структуре общего решения НЛДУ)
Пусть
– общее решение ОЛДУ,
оо
соответствующего данному НЛДУ на (a, b);
ỹ – некоторое решение НЛДУ на (a, b).
Тогда общее решение НЛДУ:
он
оо
чн
3

4.

Метод вариации произвольных постоянных
(метод Лагранжа)
Применяется для нахождения частного решения НЛДУ.
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение Ln [y]=f(x), х (a, b).
Шаг 1. ОЛДУ. Ln[ y(x) ] = 0.
Решение НЛДУ можно получить, если известно общее решение ОЛДУ,
соответствующее НЛДУ:
n
yOO Ci yi
i 1
Шаг 2. НЛДУ.
n
Идея метода: будем искать решение НЛДУ в виде
yЧН Ci x yi
i 1
где Ci (x) – некоторые непрерывно дифференцируемые на (a, b) функции,
которые надо найти.
4

5.

n
yЧН Ci x yi
i 1
Эти функции, а точнее, их производные находим из системы:
5

6.

Пример. Решить задачу Коши для уравнения у'''−у"=ех
при начальных условиях у(0)=1, у'(0)=у"(0)=0.
6

7.

7

8.

8

9.

Метод подбора частного решения НЛДУ
с п/к по виду правой части
Пусть L[y] = f(x) – НЛДУ с п/к,
где
– квазиполином,
причём , R,
– многочлены.
9

10.

Тогда частное решение НЛДУ ищется в виде
чн
где , – известные числа,
– многочлены степени k = max(m, n) с
неопределёнными коэффициентами, которые
находятся из данного дифференциального уравнения;
r − кратность корня + i среди корней
характеристического уравнения ОЛДУ с п/к
соответствующего НЛДУ (показывает сколько раз
число + i совпадает с корнем характеристического
уравнения λ).
10

11.

Рекомендации к подбору частного решения НЛДУ
сведены в таблицу
11

12.

Пример. Решить уравнение у'''−у"=ех.
12

13.

Теорема (о суперпозиции решений)
Пусть Ln[y] = f1(x) + f2(x).
Функция y1(x) – решение НЛДУ Ln[y1] = f1(x),
y2(x) – решение НЛДУ Ln[y 2] = f2(x).
Тогда y1(x) + y2(x) – решение НЛДУ Ln[y] = f1(x)+f2(x).
(Доказательство состоит в проверке того, что функция
y1(x) + y2(x)– решение исходного НЛДУ.)
Эта теорема справедлива и для большего количества
функций fi (x) (i = 1,…,n).
13

14.

Пример. y ўўў- y ўў= x - 1 + 2 Чcos x + e x . Решить задачу
Коши при начальных условиях у(0)=0, у'(0)=у"(0)=1.
14

15.

15