Komplex_chisla_s_multipl (1) (1)

1.

КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА

2.

Понятие комплексного числа.
Комплексным числом z называется выражение вида z x yi
где х , у – действительные числа, а i так называемая мнимая
единица, причем
i 2 1.
Число х называется действительной частью комплексного
числа z x yi и обозначается x Re z (от французского слова
Reel – действительный).
Число у называется мнимой частью комплексного числа z x yi
и обозначается y Im z (первые буквы слова Imaginaire –
мнимый).
Комплексное число z x yi называется сопряженным (или
комплексно-сопряженным) с комплексным числом z x yi и
обозначается z , т.е. z x yi .

3.

Геометрическое изображение комплексного
числа
• Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости
ХОУ. Плоскость, на которой изображают комплексные числа,
называется комплексной плоскостью , где ось ОХ является
действительной осью, а ОУ мнимой.
У
М(x;у)
i
О
Х
1
Рис. 1

4.

Пример 1 :
Изобразите на комплексной плоскости числа z1 3 4i , z 2 2 i,
z 3=−3 i .
Решение:
z1 3 4i K (3;4)
У
z2 2 i P( 2; 1)
4
К
z3 3i M (0; 3)
i
-2
P
О
1
-1
-2
-3
М
Рис. 2
2
3
Х

5.

Модуль и аргумент комплексного числа.
Комплексные числа можно изображать также
направленными отрезками (векторами), начинающимися в
точке О(0,о) и оканчивающимися в соответствующей точке
комплексной плоскости. Т.е. число z = 3 + 4i можно
изобразить не только точкой К(3,4), но и вектором OK(рис. 3).
Длина вектора, изображающего комплексное
число, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль комплексного числа
z=x+yi обозначаются символами |z|=|
x+yi| либо буквой p. Геометрически
очевидно (рис. 4).

6.

Величина угла между положительным направлением действительной
оси и вектором , изображающим комплексное число, называется
аргументом комплексного числа z
и обозначается
.
x
yi
Arg
z
Аргумент комплексного числа z 0не определен. Аргумент комплексного
числа величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого
:
2
k
(
k
0
;
1
;
2
;
)
Если число z
лежит на действительной или мнимой оси, то
x
yi
arg
z можно найти непосредственно по рисунку.
Так как
, то из формулы tg
arg
z
y
получаем
x

7.

Пример 2.
z 1 3 4i и
Найти модуль и аргумент
комплексных чисел
Для комплексного числа
x 3, y 4
z 32 ( 4)2 9 16 25 5
Тогда модуль
arg z arctg
z1 3 4i имеем
4
3
arctg
z 2 3i
и аргумент
4
(число находится в IV четверти).
3
z 2 3i
Для комплексного числа
имеем x 0, y 3
z 02 ( 3)2 9 3
и аргумент
3
arg z arctg arctg (число находится оси OY)
Тогда модуль
0
2

8.

Формы записи комплексных чисел
Запись комплексного числа в виде z x yi называют алгебраической
формой комплексного числа.
Модуль и аргумент комплексного числа можно рассматривать
как полярные координаты вектора, изображающего комплексное число
x cos , y sin . Следовательно,
z x yi . Тогда получаем
комплексное число
можно записать в виде
z x yi
z cos i sin (cos i sin ) . Такая запись комплексного числа
называется тригонометрической формой.
Используя формулу Эйлера
ei cos i sin комплексное число
z (cos i sin ) можно записать в так называемой показательной форме
z ei , где z и Arg z .

9.

Пример 3.
Записать комплексные числа z1 2 2 3∙ i , z 2 9 , z 3 1 i
в тригонометрической форме и показательной форме.
Для комплексного числа z1 2 2 3 ∙ i
имеем x 2,
2
2
Тогда модуль z 2 (2 3) 4 12 16 4
arg z arctg 2 3 arctg 3
2
y 2 3
и аргумент
(число находится в I четверти),
3
т.е. тригонометрическая форма имеет вид z1 4 cos i sin
3
3
i
а показательная
z1 4 ∙ e 3

10.

Для комплексного числа z2 9 имеем x 9, y 0
Тогда модуль
z
92 02
81 9
и
аргумент
arg z arctg 0 arctg 0 0 (число находится оси OX).
9
Тригонометрическая форма имеет вид
z 2 9 cos 0 i sin 0 , а показательная –
z 2 9 ∙ e 0 i
Для комплексного числа z 3 1 i имеем x 1, y 1
Тогда модуль
z ( 1) 2 ( 1) 2 1 1 2
и аргумент
arg z arctg 1 arctg 1 3 (число находится в III четверти).
1
4
т.е. тригонометрическая форма имеет вид
а показательная – z3 2 ∙ e
i 3
4
4
z3
3
3
2 cos(
) i sin(
)
4
4

11.

Операции над комплексными числами
Сложение. Суммой комплексных чисел z
x
y
iи z
x
y
i
1
1
1
2
2
2
называется
Это
комплексное
определение
число
подсказано
.
z
z
z
(
x
x
)
(
y
y
)
i
1
2
1
21
2
правилами
действий
с
обычными
многочленами.
Вычитание. Вычитание определяется как действие обратное к
сложению z
.
z
z
(
x
x
)
(
y
y
)
i
1
2
1
21
2
Умножение. Произведением комплексных чисел
z
x
y
i
2
2
2
называется
.
z
z
z
(
x
x
y
y
)
(
x
y
y
x
)
i
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
комплексное
z
x
y
iи
1
1
1
число

12.

Деление. Частным двух комплексных чисел
z
x
y
iи
1
1
1
, которое удовлетворяет
x
yi
z
x
y
iназывается комплексное число z
2
2
2
условию z
.
z z
1
2
На практике частное находят по формуле
z
z
z
(
x
y
i
)
(
x
y
i
)x
x
y
y
x
y
y
x
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
z
i
2
2 2
2
z
z
z
(
x
y
i
)
(
x
y
i
) x
y
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2 x
2
2
.

13.

В дальнейшем при перемножении комплексных чисел нет необходимости
пользоваться определением произведения комплексных чисел. Можно
воспользоваться обычными правилами умножения многочленов, заменяя
i 2 на - 1.
Пример 4.
(5+2i)+(-3+6i)= 5 2i 3 6i 5 3 2i 6i 2 8i
(15 8i ) ( 10 77 i ) 15 8i 10 77 i 15 10 8i 77 i 25 69 i
2
( 2 3i ) ∙ ( 3 4i ) 2∙ ( 3) 2 4i 3i ∙ ( 3) 3i ∙ 4i 6 8i 9i 12i
6 i 12 18 i
2 3i (2 3i) ( 3 4i) 6 8i 9i 12i 2 6 17i 12 6 17i 6 17
i
2
2
3 4i ( 3 4i) ( 3 4i)
( 3) (4i)
9 16
25
25 25

14.

Возведение в целую степень. При возведении комплексных
чисел в любую степень удобно пользоваться формулой, которую предложил
в 1707 году английский математик, француз по происхождению Абрахам де
Муавр
nn
.
z
(
n
c
i
si
n
os
)
n

15.

Пример 5
Возведем в шестую степень комплексное число
z 2 2
3
∙i
Сначала запишем его в тригонометрической форме (см. пример 3)
z 4 cos
3
i sin
3
.
Затем применим формулу Муавра:
z
6
4 6 cos( 6 ∙ ) i sin( 6 ∙ ) 4096
3
3
cos 2 i sin 2 4096 (1 i ∙ 0 ) 4096

16.

Возведем в десятую степень комплексное число
Для него (см. пример 3) модуль z
arg z arctg
1
1
arctg 1
4
3
4
т.е. тригонометрическая форма имеет вид
z 1 i
( 1) 2 ( 1) 2
1 1
2
и аргумент
(число находится в III четверти)
z
3
3
2 cos(
) i sin(
)
4
4
По формуле Муавра имеем
z
10
(
10 ∙ 3
10 ∙ 3
30
30
10
5
2 ) cos(
) i sin(
) 2 cos(
) i sin(
)
4
4
4
4
15
15
15
15
32 cos(
i sin
) i sin(
) 32 cos
)
2
2
2
2
3
3
3
3
32 cos( 6
i sin
32 ( 0 i ∙ ( 1 )) 32i
) i sin( 6
) 32 cos
2
2
2
2

17.

Извлечение корня
n-ой степени.
Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное
число w , удовлетворяющее равенству
,т.е.
z (cos i sin )
w r (cos i sin )
(cos i sin ) r n (cos n i sin n )
rn
n 2 k
2 k
r n
.
n
2 k
2 k
n
i sin
, где k 0,1, 2, … , n 1
z n cos
n
n
Получим n различных значений корня. При других значениях k, в
силу периодичности синуса и косинуса, получатся значения корня,
совпадающие с уже найденными.
Итак, для любого z 0корень n-ой степени из числа z имеет ровно n
значений. Полученные значения корня можно изобразить на комплексной
плоскости. Они станут вершинами правильного многоугольника, вписанного
в окружность радиуса n .

18.

Пример 6
3
x 1. y= 0
1
z ( 1) 2 0 2 1 1
arg z arctg 0 arctg 0 0
1
при k 0
2 ∙ 0
2 ∙ 0
1
3
3
w0
1 cos
i sin
1 cos
i sin i
;
3
3
3
3 2
2
при k 1
2 ∙ 1
2 ∙ 1
3
3
3
w1
1 cos
i sin
1 cos
i sin
cos i sin 1
3
3
3
3
при k 2
2 ∙ 2
2 ∙ 2
5
5 1
3
3
.
w2
1 cos
i sin
1 cos
i sin
i
3
3
3
3 2
2

19.

Полученные корни можно
изобразить
комплексной
У
на
Wo
плоскости
как вершины правильного
треугольника, вписанного
в
3
окружность
W1
1
О
радиусом
W2
1 1 (рисунок 5).
Рис. 5
Х

20.

Решение квадратных уравнений
Пример 7
Решите уравнение
x 4x 5 0
2
формулами, при этом не забудем, что
2
D 4 4 ∙1∙5 16 20 4
1 ∙4 1 ∙ 4 i ∙ 2
D
4
4
x1, 2
4 4 2∙ i
2 i
2
2
Воспользуемся известными
i= - 1

21.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!