Производная функции. Производные элементарных функций

1. Производная функции. Производные элементарных функций

2. Приращение функции и приращение аргумента

y
y=f(x)
приращение аргумента:
∆х = х - х0
f(x)=f(x0+∆x)
(1)
Приращение функции :
∆f
∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2)
f(x0)
∆f = f(x)-f(x0)
(3)
x
x0
∆x
x =x0+∆x Т.е.,Дана
значение
функция
функции
f(x)
изменилось
на
величину
f(x)Первоначальное
Пусть
В окрестности
х0-между
фиксированная
значение
точки
Расстояние
точками
хи
Функция
f(х)
тоже
примет
f(xаргумента
0точка,
)=хf(x
0 +∆x)-f(x
0),КОТОРАЯ
0 возьмём
f(х0)получило
значение
точку
х
хНАЗЫВАЕТСЯ
0 обозначим ∆х.Оно называется
ФУНКЦИИ
новое
значение:
0+∆x)
приращение
функци
вПРИРАЩЕНИЕМ
точке
∆х, иf(x
хновое
0
приращением
аргумента
и
И ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆f
значение
х равно
х0+∆х
равно
разности
между
х и х 0:

3. Определение производной

Производной функции f в точке х0 называется предел
отношения приращения функции к приращению
аргумента при последнем стремящимся к нулю:
f ( x0 x) f ( x0 )
f x lim
x O
x

4. А л г о р и т м

Алгоритм
1)
2)
3)
4)
∆x = x – x0
∆f = f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 x) f ( x0 )
f
x
x x0
f
f ( x0 ) lim
x 0 x

5. Вывод

Правило вычисления производной
позволяет в каждой точке x0
вычислять значение производной.
Другими словами
f ( x) f ( x)
дифференцирование

6.

y log a x
y
1
x ln a

7. Примеры

1. y x
1
2. y 3
x
3. y 4 x
1
4. y 3
x
10
Примеры
1. y 10 x10 1 10 x 9
2. y x 3
y 3 x 3 1 3 x 4
3. y x
1
4
1 14 1 1 34
1
y y y
4
4
44 x 3
5. y x 5 x 4
4,5. y x....
y
6. y 5
7. y log 4 x
6. y 5 x ln 5
1
7. y
x ln 4
x
3
x4

8. Дифференцируемость функции

Если функция имеет производную в точке x0 ,
то говорят, что она дифференцируема в этой
точке.
Теорема. Если функция дифференцируема в
точке x0 , то она в ней непрерывна.
Обратное утверждение не верно!

9. Не имеют производных функции:

1. В точках, не входящих в область
определения функции

10. 2. В точках с вертикальной касательной

y 3 x
1 23
1
y x x
33 x 2
3
1
3

11. 3. В точках излома