Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле

1.

Двойной интеграл
Замена переменных в двойном интеграле
Двойной интеграл в полярных координатах
1/13

2.

Замена переменных в двойном
интеграле
2/13
Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана
непрерывная функция z = f(x, y).
Заменим переменные x и y :
x ( u ,v )
y ( u ,v )
Если функции x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0uv
непрерывные частные производные и не равный нулю
определитель:
x x
определитель Якоби
u
v
I (u, v)
(якобиан)
y y
u v
а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива
формула замены переменной в двойном интеграле:
f ( x, y )dxdy f ( (u,v ); (u,v )) I(u,v ) dudv
D
D*

3.

Замена переменных в двойном
интеграле
Вычислить двойной интеграл
3/13
dxdy
D
если область D ограничена линиями:
xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3x.
y
y = 3x
Сделаем замену переменных:
y=x
y
u xy , v .
x
D
y = 2/x
y = 1/x
0
x

4.

Замена переменных в двойном
интеграле
Найдем уравнения линий, ограничивающих область D*
u xy
xy 1
xy 2
y
v
x
y x
y 3x
u 1; u 2.
y
v
x
y
1
x
y
3
x
v 1; v 3.
4/13

5.

Замена переменных в двойном
интеграле
Выразим переменные x и y через u и v.
u xy
v y
x
uv y 2
u x2
v
1
2
y
uv
1
u 2
x
v
Найдем частные производные от получившихся функций:
'
1
x u
1 u 2 1
1
u v
2 v v 2 uv
u
1
2
'
1
x u
1 u 2 u
u
2
v v
2 v
v
2 v3
v
1
2
5/13

6.

Замена переменных в двойном
интеграле
6/13
1
1
y
1
v
uv 2 uv 2 v
u
u 2
2 u
'
1
y
1
u
2
uv uv u
v
2 v
v 2
1
2
'
Найдем якобиан преобразования:
I (u,v )
x x
u v
y y
u v
1
2 uv
v
2 u
u
2 v3
u
2 v
1
u
v
u
2 uv 2 v 2 u 2 v 3
1 1
4v 4v
1
2v

7.

Замена переменных в двойном
интеграле
7/13
Построим область D*.
Расставим пределы интегрирования,
пользуясь формулой (1):
dxdy
D
2
3
1
dv
2v
1
I dudv du
1
D*
v
3
2
D*
1
Вычислим двукратный интеграл:
0
2
3
2
2
1
2
1
1
1
3
1 du 1 2v dv 2 1 du ln v 1 2 1 ln 3 ln 1 du
1
1
2
ln 3 u 1 ln 3
2
2
u

8.

Двойной интеграл в полярных
координатах
8/13
Рассмотрим частный случай замены переменных: замену
декартовых координат x и y полярными координатами r и φ.
В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они
связаны с декартовыми координатами формулами:
x r cos ;
y r sin
Правые части в этих равенствах – непрерывно
дифференцируемые функции.
Якобиан преобразования равен:
x
r
I ( r , )
y
r
x
r cos r
y
r sin r
r cos cos
r sin sin
r cos2 r sin2 r
r sin
r cos

9.

Двойной интеграл в полярных
координатах
9/13
Формула замены переменных принимает вид:
f ( x, y ) dxdy f (r cos ; r sin ) r dr d
D
D*
Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат:
Лучами
;
Кривыми
r r1( ); r r2 ( );
Область в полярной системе
соответствующая
( координат,
)
области D в декартовой
r = r2(φ )
системе координат
r = r1(φ )
D*
( r1( ) r2 ( ) )
β
0
α
r
Такая область называется правильной областью в полярной
системе координат:
луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более,
чем в двух точках.

10.

Двойной интеграл в полярных
координатах
Расставим пределы
интегрирования:
))
r = r11((φ
β
10/13
( ))
r = r22(φ
D*
α
0
f (r cos ; r sin ) r dr d d f (r cos ; r sin ) r dr
D*
Внутренний интеграл здесь берется при постоянном φ.
r

11.

Двойной интеграл в полярных
координатах
11/13
Замечания
1 Переход к полярным координатам целесообразен, когда
подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2) ; область D есть
круг, кольцо или части таковых.
2
На практике переход к полярным координатам осуществляется
путем замены
x r cos
y r sin
dxdy r dr d
Уравнения линий, ограничивающих область D, также
преобразуются к полярным координатам.
3
Преобразование области D в область D* не выполняют, а
совмещают декартовы и полярную системы координат,
находят нужные пределы интегрирования по r и φ.

12.

Двойной интеграл в полярных
координатах
Вычислить
9 x 2 y 2 dxdy
12/13
x2 y 2 9
D:
D
Перейдем к полярным координатам:
9 r cos r sin r dr d
2
2
D
9 r 2 r dr d
D
y
x2 y 2 9
Изобразим область D в
декартовой системе координат.
D
0
3
x

13.

Двойной интеграл в полярных
координатах
В полярной системе координат эта
область будет определяться
неравенствами:
y
0 2
;
2π
D
r=3
00 r 3
φ
0
D
13/13
3
x
9 r 2 r dr d d 9 r 2 r dr
2
2
3
2 2
3
2
1
2 (9 r )
d
2 0
3
0
3
1
d 9 r 2 d (9 r 2 )
20 0
1
2
d
(
0
27
)
9
18 .
0
30