Определение расстояния до недоступной точки

1. Определение расстояния до недоступной точки

Иногда нужно узнать расстояние до точки,
к которой нельзя подойти напрямую.
Например: до дерева через реку или до
здания за забором.
Нужно найти это расстояние, не переходя
на другую сторону.

2. Что такое недоступная точка?

• Недоступная точка - это точка, до которой невозможно дойти напрямую и
измерить расстояние рулеткой.
• Примеры:
• Дерево на другом берегу реки
• Корабль в море
• Вершина горы
• Здание за оврагом
• Задача: найти расстояние до такой точки, не переходя через преграду,
используя только измерения на доступной стороне.

3. Какая геометрия нам понадобится

Для решения задачи мы используем два инструмента из
школьной геометрии:
1. Равенство треугольников
Если два треугольника равны, то все их
соответствующие стороны равны. На доступной
стороне строится такой же треугольник, в котором
можно измерить нужную сторону
2. Подобие треугольников
Если два треугольника подобны, то их стороны
пропорциональны. Мы строим уменьшенную копию
треугольника и вычисляем нужную сторону через
пропорцию.
Главная идея: мы не можем измерить расстояние
напрямую, но можем построить треугольник, в
котором это расстояние — одна из сторон, а потом
найти её через другой (доступный) треугольник.

4.  Метод 1: через равные треугольники

Метод 1: через равные
треугольники
Дано: точка B - на другом берегу реки. Нужно найти AB.
Порядок действий:
Встаём в точку A на берегу напротив точки B, так чтобы
AB было перпендикулярно берегу.
Вдоль берега от A откладываем отрезок AC
произвольной длины (например 30 м) Угол A = 90
градусов.
Находим середину отрезка AC - точку M (то есть AM =
MC).
Из точки C проводим перпендикуляр к берегу в сторону
ОТ реки.
Идём по этому перпендикуляру до точки D, из которой
точки M и B видны на одной прямой (то есть D, M и B
лежат на одной линии).
Измеряем CD.
Результат: CD = AB — это и есть искомое расстояние!

5. Доказательство

Рассмотрим треугольники ABM и DCM:
По второму признаку равенства треугольников (сторона и два
прилежащих к ней угла):
△ABM = △DCM
Значит, AB = CD.
Мы измерили CD на доступной стороне - и получили расстояние AB до
недоступной точки!
Что сравниваем
Треугольник ABM
Треугольник DCM
Почему равны
Сторона
AM
MC
M - середина AC
Угол при A и C
∠BAM = 90°
∠DCM = 90°
Оба прямые по
построению
Угол при M
∠AMB
∠CMD
Вертикальные углы

6. Метод 2: через подобные треугольники

Порядок действий:
Встаём в точку A на берегу. AB ⊥ берегу (угол A = 90°).
Вдоль берега от A откладываем отрезок AC (например 40 м).
На отрезке AC отмечаем точку D (например DC = 10 м от C).
Из точки D проводим перпендикуляр к берегу (параллельно AB) в
сторону от реки.
Идём по этому перпендикуляру до точки E, которая лежит на прямой
BC.
Измеряем DE.
Теперь считаем:
Треугольники ABC и EDC подобны (∠A = ∠D = 90°, ∠C - общий).
Значит стороны пропорциональны:
AB / DE = AC / DC
AB = DE × AC / DC

7.  Пример задачи по методу 1

Пример задачи по методу 1
• Условие:
• На берегу реки в точке A провели перпендикуляр к направлению на дерево
B, стоящее на другом берегу. Вдоль берега от A отложили 24 м до точки C.
Нашли середину AC - точку M (AM = MC = 12 м). От точки C провели
перпендикуляр в сторону от реки и нашли точку D, из которой D, M и B
лежат на одной прямой. Измерили CD = 15 м.
• Найти расстояние AB.
• Решение:
• Треугольники ABM и DCM равны по второму признаку (Если сторона и два прилежащих к ней угла
одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие
треугольники равны):
• AM = MC = 12 м (M - медиана AC)
• ∠BAM = ∠DCM = 90° (по построению)
• ∠AMB = ∠CMD (вертикальные углы)
• Из равенства треугольников: AB = CD = 15 м.
• Ответ: расстояние до дерева AB = 15 м.

8.  Пример задачи Метод 2

Пример задачи Метод 2
• Условие:
• Точка B находится на другом берегу реки. На нашем берегу отметили точку A (AB ⊥ берегу) и точку C вдоль берега, AC = 40 м. На
отрезке AC отметили точку D так, что DC = 10 м. Из D провели перпендикуляр к берегу и нашли на нём точку E, лежащую на
прямой BC. Измерили DE = 6 м.
• Найти расстояние AB.
• Решение:
• Треугольники ABC и EDC подобны:
• ∠BAC = ∠EDC = 90° (по построению)
• ∠ACB = ∠DCE (общий угол)
• По двум углам: △ABC ∼ △EDC
• Составляем пропорцию:
• AB / DE = AC / DC
• AB / 6 = 40 / 10
• AB / 6 = 4
• AB = 24 м
• Ответ: расстояние до точки B равно 24 м.

9.  Где это применяется

Где это применяется
МОРЕПЛАВАНИЕ РАССТОЯНИЕ ДО БЕРЕГА
ИЛИ ДРУГОГО КОРАБЛЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО ИЗМЕРЕНИЯ ЧЕРЕЗ РЕКИ,
ОВРАГИ, УЩЕЛЬЯ
ГЕОДЕЗИЯ СОСТАВЛЕНИЕ КАРТ
МЕСТНОСТИ