Теорема о трех перпендикулярах. Задачи на доказательство

1. Теорема о трех перпендикулярах

Нас мало. Нас может быть трое…
Б. Пастернак.
Из цикла «Я их мог позабыть»

2. Задачи на доказательство

Доказать, что
D1
C1
A1
B1
D
A
C
O
B
1) АС D1O
2) ABC1 90

3.

ABCD прямоуголь ник
KD ( ABC )
Доказать, что : КАВ КСВ 90
K
D
A
C
B

4.

Среди точек прямой b точка В
является ближайшей к точке А
Докажите, что она ближайшая к
точке С
C
A
a
B
b
α

5.

EF – средняя линия
прямоугольного треугольника
АВС, МЕ – перпендикуляр к
плоскости этого треугольника
Докажите, что
1) MF ВC
2) MC MВ
M
B
E
A
F
C

6.

Дано : ABCD ромб ,
МК ( АВС ), Р МС
Доказать, что :
1)ОМ BD
M
2)OP BD
D
A
P
O
K
B
C

7.

ABC равнобедренный
( АВ АС )
AD высота ABC ,
ОК ( АВС ), Р АК
P
K
Докажите, чтоBC DP
C
A
D
O
B

8.

Через
точку М проведены
наклонная МВ и
перпендикуляр ММ1 к
плоскости угла АВС.
Острые углы МАВ и МВС
равны.
Докажите, что M1BA M1BC

9.

M
K
A
M1
B
T
C

10. Задачи на построение

Отрезок МС перпендикулярен
плоскости равностороннего
треугольника АВС.
Проведите через точку М
перпендикуляр к прямой АВ
М
С
А
B

11. Отрезок MD перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. Проведите через точку М перпендикуляры к прямым ВС и АВ

M
C
D
A
B

12. Отрезок МА перпендикулярен плоскости ромба. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой AC

M
C
D
O
A
B

13. Отрезок MN перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника АВС. Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АС и ВС

M
N
A
C
B

14. Отрезок MN перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС). Проведите через точку М перпендикуляр к прямой

ВС.
М
N
A
С

15. Задачи на вычисление

ABCD квадрат
МО ( АВС ), МО 15см, АВ 16см
Найти : ( М , АВ); ( М , АD); ( M , DC ); ( M , BC )
M
D
15
17
C
8
A
O
K
B

16.

ABC , C 90 , PB ( ABC ),
PA 13см, B 30 , AC 5см
Найти : ( P, AC ); ( P, ( ABC ))
P
√69
B
13
12
A
10
300
C
5

17.

ABCD квадрат, BM ( ABC ),
BM 4, AB 2
Найти: расстояние от точки М до
сторон и диагоналей квадрата
M
√20
4
B
2
A
3√2
C
√2
D

18. Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 9см и 16см. Через середину гипотенузы - точку О проведен перпендикуляр к плоскости

треугольника длиной 6см. Найдите расстояние от
концов перпендикуляра до катетов и вершины
прямого угла.
M
7,5
337
A
6
B
481
2
O
4,5
16
10
337
2
8
9
C

19. Отрезок MD перпендикулярен плоскости равнобочной трапеции ABCD(AB=CD).Проведите через точку М перпендикуляр к прямой ВС

M
C
D
A
B

20. Отрезок MC перпендикулярен плоскости прямоугольной трапеции ABCD(угол В –прямой ).Проведите через точку М перпендикуляры к

Отрезок MC перпендикулярен плоскости
прямоугольной трапеции ABCD(угол В –
прямой ).Проведите через точку М
перпендикуляры к прямым АВ и AD
M
D
A
C

21.

ABC прямоуголь ный, С 90 ,
M
АС а, В
МС ( АВС ), МС а
Найти : (С , АВ); ( М , АВ)
a (1 cos )
2
C
A
a cos
B

22. ABCD – ромб, OK – перпендикуляр к плоскости ромба. ОК=5см. Найти расстояние от точки К до сторон ромба, если его диагонали

равны 40см и 30см.
K
13
5
B
O
20
15
A
C
12
25
M
D

23. ABCD – квадрат. АВ=2а. DD1=a. Постройте проекцию DC на плоскость α. Найдите расстояние между прямой АВ и проекцией DC на

плоскость α.
C
D
2a
Ba√3
A
α
a
D1
C1