1.95M

Category: $mathematics$ mathematics

Расстояние от точки до плоскости. Геометрия. 10 класс

1. Расстояние от точки до плоскости.

Геометрия 10 класс
Речицкая О.С.

2. Теоретический опрос.

- Как определяется расстояние от точки до прямой
на плоскости?
(Как длина перпендикуляра,
проведенного из точки к данной
прямой)
A
- Вспомним, как называются отрезки
AM - ? AH - ? Точка M? Точка H?
a
M
АМ – наклонная к прямой а
АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а
Н – основание перпендикуляра
М – основание наклонной
НМ – проекция наклонной.
H

3.

Определите расстояние от точки М до прямой а
перпендикуляр
Расстоянием от точки до прямой является длина
перпендикуляра
M
MH < MN
a
N
H
Н – основание перпендикуляра
N – основание наклонной
HN – проекция
наклонной
-А как же определить расстояние от точки до
плоскости?

4. Изучение нового.

Рассмотрим плоскость α и точку А α
1) Через точку А, проведем прямую а α, а∩α=Н, АН –
перпендикуляр, Н – основание перпендикуляра
2) Отметим в плоскости α
произвольную точку М, отличную от Н.
АМ – наклонная, проведённая из А к
плоскости α, НМ – её проекция на
плоскость α.
М
А
Н
α
3) Докажите, что АН<АМ; чему
равен ∟МНА?
∟МНА= 900, значит ∆АНМ – прямоугольный:
АН – катет, АМ - гипотенуза, следовательно
АН<АМ
Вывод. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше
любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Длину
перпендикуляра будем называть расстоянием от точки А до плоскости α.

5.

Определите расстояние от точки М до
плоскости ɣ
Расстоянием от точки до плоскости является
длина перпендикуляра
N
перпендикуляр
M
MH < MN
ɣ
H
NH – проекция наклонной
на плоскость ɣ

6.

АВ < AC
А
AB < AD
AB < AE
С
E
В
D
α
АВ – расстояние от точки
до плоскости
Расстоянием от точки до
плоскости называется
длина перпендикуляра
опущенного из данной точки
на данную плоскость

7.

Задача 1:
Доказать, что проекции равных наклонных равны.
M
MN = NK
Доказать:
NH=HK
ɣ
N
H
K

8. Замечание 1.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости
равноудалены от другой плоскости.
АА1 и ММ1 – перпендикуляры из
произвольных точек плоскости α к
плоскости β.
По свойству параллельных
плоскостей отрезки параллельных
прямых, заключенные между
параллельными плоскостями,
равны. АА1 || ММ1 => АА1 = ММ1.
А
М
А1
М1
α
β
Расстояние от произвольной точки одной из
параллельных плоскостей до другой плоскости
называется расстоянием между параллельными
плоскостями.

9. Замечание 2.

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой
равноудалены от этой плоскости.
М
Доказательство приведено в задаче
№ 144
Изучить дома самостоятельно.
а
β
α
N
Расстояние от произвольной точки прямой до
плоскости называется расстоянием между прямой и
параллельной ей плоскостью.

10. Замечание 3.

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
М
а
β
в
α
N
Расстояние между одной из скрещивающихся
прямых и плоскостью, проходящей через другую
прямую параллельно первой, называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми.

11. Решить задачи.

*№ 138 (а)
*№ 139 (а)
*№ 140
*№ 143

12. № 138(а)

*№ 138(а)
А
Подсказки:
φ
•Определите вид треугольника.
d
• Воспользуйтесь
С
соотношением сторон и
углов прямоугольного
треугольника.
В
Ответ: АВ = d/cos φ, ВС = d tg φ.

13. № 139 (а)

*№ 139 (а)
Подсказка:
Сравните треугольники АВН и ВНС

14. № 140

*№ 140
Подсказки:
Сравните треугольники АВО и АСО
А
Найдите АВ и АС
1,5
Определите вид
треугольника АВС
Найдите СВ
С
О
В
Ответ: СВ = 3 см

15.

Найти расстояние до плоскости
треугольника от точки P, равноудаленной от
его вершин и не лежащей в его плоскости.
P
A
Каким
Что
Где
является
может
свойством
расстоянием
находиться
обладает
точка
точка
от О?
точки
О?
Р до плоскости
треугольника?
О
О
О
B
C
Точка О
О – центр,
равноудалена
описанной
от
вершин
окружности.
треугольника

16.

От чего зависит местонахождения центра
окружности, описанной около треугольника?
От вида треугольника
О
О
О
ΔABC -
ΔABC -
ΔABC -
прямоугольный
остроугольный
тупоугольный

17.

План решения задачи:
1. Определить вид треугольника и
местонахождение точки О.
2. Найти радиус описанной окружности.
ΔАВС
Прямоугольный
R = c/2, где с –
гипотенуза
треугольника
Правильный
a
R=
, где
3
а – сторона
треугольника
Остроугольный и
тупоугольный
abc
R=
4S
S = p( p a)( p b)( p c)
Р = (a+b+c)/2
3. По теореме Пифагора найти расстояние РО

18.

Задача 2:
Девочки: Найти расстояние
от точки К до плоскости
равностороннего
треугольника со стороной 6
см и равноудаленной от его
вершин на расстояние
равное 8.
Мальчики: Точка М
находится на расстоянии 15
см от всех вершин
треугольника со сторонами 6
см, 10 см, 8 см. Найти
расстояние от точки М до
плоскости треугольника.
Ответ: 2
Ответ: 10
13
2

19.

Задача 3:
Девочки: Точка К
находится на расстоянии 7
см от вершин треугольника
со сторонами 5 см, 5 см, 6
см. Найти расстояние от
точки К до плоскости
треугольника.
Ответ:
9 31
8
Мальчики: Точка К
находится на расстоянии 8
см от вершин треугольника
со сторонами 5 см, 5 см, 8
см. Найти расстояние от
точки К до плоскости
треугольника.
Ответ:
8 17

20.

Подсказки:
№ 143
М
• Опустите перпендикуляр МО
к плоскости (АВС)
4
• Сравните треугольники
АОМ, ВОМ и СОМ
• Чем является точка О для
С
А
треугольника АВС?
• Воспользуйтесь формулой связи
О
6
радиуса описанной окружности
В
правильного треугольника с его
стороной
• Найдите МО, как катет треугольника
МОС
Ответ: МО = 2 см