Производная функции и её применение

1.

2.

Пусть x – произвольная точка, x0 – фиксированная.
Функция y = f(x) определена в точке и окрестности
точки x0.
x = x –x0 - приращение аргумента.
Тогда x0 + x=x.
Функция при этом получит приращение
f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) . Тогда
Производной функции f(x) в точке x0 называется
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, если приращение
аргумента стремится к нулю:
f ( x0 x) f ( x0 )
f x lim
x O
x

3.

Если функция имеет производную в
точке, то она называется
дифференцируемой в этой точке.
Операция нахождения
производной функции называется
дифференцированием.

4.

5.

15.
16.
17.
18.
19.
20.

6. При вычислении производных используются следующие правила:

7. 1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
Пример: найти производную функции
f ( x) x x 5
Решение: f ( x) ( x 4 ) ( x 2 ) (5) 4 x3 2 x
4
2

8. 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной

(c f ( x)) c f ( x)
Пример: найти производную функции
1 5
f ( x) x
3
Решение: f ( x) 1 x 5 1 ( x 5 ) 1 5 x 4 5 x 4
3
3
3
3

9. 3. Производная произведения

( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
Пример: найти производную произведения функций
2
f ( x) 3 x 5 и g ( x ) 2 x 7
Решение:
2
2
( f ( x) g ( x)) (3x 5) (2 x 7) (3x 5) (2 x 7)
6 x (2 x 7) (3x 2 5) 2 12 x 2 42 x 6 x 2 10
18 x 2 42 x 10

10. 4. Производная частного

f ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2
g ( x)
g ( x)
3
x
Пример: найти производную функции F ( x) 2
x 1
3
g ( x) x 2 1, тогда
Решение: обозначим
и
f
(
x
)
x
3
x ( x 3 ) ( x 2 1) x 3 ( x 2 1)
F ( x) 2
2
2
( x 1)
x 1
3x 2 ( x 2 1) x 3 2 x 3x 4 3 x 2 2 x 4 x 4 3 x 2
2
2
2
2
2
( x 1)
( x 1)
( x 1) 2

11. 5. Производная сложной функции

• Определение: Сложная функция – это функция от функции
F ( x) f ( g ( x))
f ( g ( x)) f ( g ( x)) g ( x)
Пример: найти производную функции F ( x) ( x 2 1)
Решение: в нашем случае
тогда
2
f ( y) y , y g ( x) x 1,
F ( x) f ( y) g ( x)
3
2
3
2
1
2
3
y ( x 2 1)
2
1
2
3 2
( x 1) 2 x 3x ( x 2 1) 3x x 2 1
2

12.

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Вычислить производную функции:

13.

РЕШЕНИЕ:

14.

РЕШЕНИЕ:

15.

16.

17.

Геометрический смысл производной заключается в том, что
численно производная функции в данной точке равна
тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через
эту точку к данной кривой, и положительным направлением
оси Ох: