Основные понятия комплексных чисел

1.

Основные понятия
комплексных
чисел
В1.

2.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара
x, y
действительных чисел, записанных в виде:
z x i y,
где символ i – мнимая единица, определяемая равенством:
i 1 i 2 1
Из определения следует, что задание одного к.ч. равносильно заданию
x и у, взятых в установленном порядке.
двух действительных чисел
Если х = 0, то число i у называется чисто мнимым.
Если у = 0, то получается чисто действительное число х.
Значит, действительные числа есть часть множества комплексных чисел.

3.

х называется действительной частью числа z,
у – мнимой частью. Их обозначают так:
х Re z;
у Im z.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком при мнимой части,
называются сопряженными:
z х i у,
z х i у,
Равенство комплексных чисел.
Два комплексных числа
называются равными :
Комплексное число
z1 х1 i у1 и
z1 z2
z2 х2 i у2
х1 х2 ,
, если
у1 у2
z х i у равно нулю , тогда и только тогда, когда
х 0, у 0

4.

Геометрическое
изображение
комплексных
чисел.
В2.

5.

Всякое комплексное число z х i у, можно изобразить на плоскости
XOY в виде точки A(х; у).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью
комплексной переменной.
y
z
у
0
Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют
действительные числа (у = 0), поэтому ось OX
называют действительной осью.
A(х; у)
х
х
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа (х = 0), поэтому
ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z
вектор
OA

6.

Формы записи
комплексных чисел
В3.

7.

1. Алгебраическая форма записи к.ч.
(1)
z x i y,
х Re z;
i
1
у Im z.
i 2 1
2. Тригонометрическая форма записи к.ч.
Рассмотрим комплексное число
z x i y
Обозначим через r модуль вектора OA , через
угол между вектором OA и
положительным направлением оси OX.
r называется модулем комплексного числа.
y
z
A(х; у)
Тогда из ΔАОВ имеют место равенства:
у
r
В
х х
0
r z х 2 у 2 х r cos ; у r sin
Следовательно, комплексное число
z можно представить в виде:
х i у r cos i r sin

8.

(2)
z r (cos i sin )
z
y
у
Для к. ч. z=0 аргумент не определен
Для любой другой точки Argz
величина многозначная и
определяется с точностью до 2 k k Z .
0
A(х; у)
r
х х
где
Значит Argz 2 k
arg z
Здесь наз. главным значением аргумента и обозначается
Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от
положительного направления оси OX против часовой стрелки.
Из ΔАОВ
у
tg
х
В
y
arctg x для точек I и IV четвертей ;
y
arg z arctg для точек II четверти;
x
y
arctg x для точек III четверти.

9.

3. Показательная форма к.ч.
Рассмотрим показательную функцию от комплексной переменной z.
z
x i y
w e
или w e
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
e
x i y
e (cos y i sin y )
x
(3)
Если в формуле (3) положим x = 0, то получим:
i y
e cos y i sin y
(4)
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая показательную
функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции.
Заменим в формуле (4) y на – y:

10.

e
i y
cos( y ) i sin( y ) e
i y
cos y i sin y
(5)
Складывая и вычитая равенства (4) и (5) получим :
e e
cos y
2
iy
iy
e e
sin y
2i
iy
iy
Представим комплексное число z в тригонометрической форме::
z r (cos i sin )
По формуле Эйлера:
cos i sin e
i
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной
форме:
z r e
i

11.

Действия над
комплексными числами в
алгебраической форме:
сложение, вычитание,
умножение, деление.
В4.

12.

1. Сложение и вычитание к. ч.
Суммой (разностью) комплексных чисел
z1 х1 i у1 и z2 х2 i у2
называется комплексное число, определяемое равенством:
z1 z2 х1 i у1 х2 i у2 х1 х2 i у1 у2
z1 z2 х1 i у1 х2 i у2 х1 х2 i у1 у2
Сложение и вычитание комплексных чисел,
изображенных векторами производится по
правилу сложения или вычитания векторов:
y
z
z1
z1 - z2
Отметим, что модуль разности 2-х к.ч.
равен расстоянию между точками,
изображающими эти числа на
плоскости к.п.
z
0
2
z1
z1 + z 2
z2
х
х2 х1 у2 у1
2
2

13.

2. Умножение к. ч.
Произведением комплексных чисел z1 х1 i у1 и z2 х2 i у2
называется такое к.ч., получаемое при умножении этих чисел по правилам
алгебры как двучлены, учитывая что
i 1; i i; i i i 1; i i
2
3
При любом целом k:
4
i
4k
1; i
5
4 k 1
i; i
4 k 2
1; i
На основании этого правила получим:
z1 z2 х1 i у1 х2 i у2
х1 х2 i у1 х2 i у2 х1 i у1 у2
2
z1 z2 х1 х2 у1 у2 i у1 х2 у2 х1
4 k 3
i

14.

Свойства:
Коммутативный закон умножения
1)
z1 z2 z2 z1
Сочетательный закон относительно умножения
2) z1
z2 z3 z1 z2 z3
Сочетательный закон относительно сложения
3) z1
z2 z3 z1 z2 z1 z3

15.

3. Деление к. ч.
Определяется как действие обратное умножению.
z2 х2 i у2
Чтобы разделить z1 х1 i у1 на
необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное
делителю:
z1
х1 i у1
( х1 i у1 ) ( х2 i у2 )
z2
х2 i у2
( х2 i у2 ) ( х2 i у2 )
( х1 х2 у1 у2 ) i ( х2 у1 х1 у2 ) х1х2 у1 у2
х2 у1 х1 у2
2
i 2
2
2
2
2
х2 у2
х2 у2
х2 у2

16.

1.
Re z a
эквивалентно уравнению
х a
прямая параллельная мнимой оси ОУ.
2.
a Re z b
или
a х b
бесконечная вертикальная полоса между прямыми
х a, х b,
включая левую прямую.
3. Im z c или y c прямая параллельная действительной оси ОХ.
Im z d или y d
4.
часть плоскости z, расположенная выше прямойy d , включая эту прямую
z R или
x2 y 2 R
или
5.
окружность с центром в т. (0,0) и радиусом R.
x2 y 2 R2

17.

6.
R1 z R2
кольцо между концентрическими окружностями с центром в т. (0,0) и радиусами
R1 и R2 , включая точки внутренней окружности .
7.
arg z
луч, выходящий из нулевой точки под углом α к действительной оси.
8. arg z
угол между лучами
arg z , arg z
, не включая сами лучи.