Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

1.

Действия над
комплексными числами в
тригонометрической и
показательной формах.
В1.

2.

z r (cos i sin )
z r e
r z
z
i
х у
2
y
у
0
A(х; у)
r
В
х х
2
y
arctg x для точек I и IV четвертей ;
y
arg z arctg для точек II четверти;
x
y
arctg x для точек III четверти.

3.

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
Найдем их произведение
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 r (cos 1 cos 2 i sin 1 cos 2
2
i sin 2 cos 1 i sin 1 sin 2 )
r1 r (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 )
i (sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 )
r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))

4.

Тогда произведение находится по формуле:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
Произведение сопряженных комплексных чисел:
z z ( х i у) ( х i у) х (i у) х у
2
z z х у z
2
2
2
2
2
2

5.

Пусть имеем:
i 1
z1 r1 e ;
i 1
i 2
z2 r2 e .
z1 z2 r1 e r2 e
i 2
r1 r2 e
Тогда:
i 1 2
Вывод: произведение 2-х к.ч. есть такое к.ч., модуль которого равен
произведению сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов
сомножителей.

6.

Возведение в степень комплексного числа.
Из формулы умножение к.ч. в тригонометрической форме следует ,
что если n – целое положительное число, то
при возведении к. ч.
в целую
z r (cos i sin )
положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент
умножается на показатель степени (формула Муавра)
z r (cos n i sin n )
n
n
i n
z r e
n
n

7.

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2
Для проверки этого равенства достаточно умножить делитель на частное
z1
r1
z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2
r2

8.

r1 (cos( 2 1 2 ) i sin( 2 1 2 ))
r1 (cos( 1 ) i sin( 1 )) z1
Если к.ч. задано в показательной форме, то
i 1
z1 r1 e ;
i 2
z2 r2 e .
i 1
z1
r1e
r1 i 1 2
e
i 2
z2
r2e
r2
Вывод: модуль частного 2-х к.ч. равен частному модулей делимого и делителя , а
аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

9.

Извлечение корня из к. ч.
Корень n – ой степени из к. ч. наз. такое к.ч. n – ая степень, которого равняется
числу, стоящему под знаком корня:
n
r cos i sin cos i sin
если
cos n i sin n r cos i sin
n
Т.к. у равных к.ч. модули равны, а аргументы могут отличаться на число кратное 2 ,
n
то
r,
отсюда находим
n 2 k.
r,
n
2 k
n
,
где k –любое целое число
n
– арифметическое (т.е. действительное положительное) значение корня
r
из положительного го числа
r.

10.

n
2k
2k
z r cos
i sin
n
n
n
Арифметическое значение корня из положительного
числа r
где k –любое целое число
В показательной форме:
n
z r e
n
i
2 k
n
.

11.

n
z
n
2k
2k
r cos
i sin
n
n
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число,
кратное 2π, и , следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с
рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как
действительное число – частный случай комплексного числа и может быть
представлено в тригонометрической форме:
A A (cos 0 i sin 0) ( A 0)
A A (cos i sin ) ( A 0)

12.

Применение
комплексных
чисел.
В2.

13.

Im z d или y d
1.
часть плоскости z, расположенная выше прямойy d , включая эту прямую
z R или
x y R
2
2
или x
2.
окружность с центром в т. (0,0) и радиусом R.
2
y R
2
2

14.

3.
R1 z R2
кольцо между концентрическими окружностями с центром в т. (0,0) и радиусами
R1 и R2 , включая точки внутренней окружности .
4.
arg z
луч, выходящий из нулевой точки под углом α к действительной оси.
5. arg z
угол между лучами
arg z , arg z
, не включая сами лучи.