Физический маятник

1. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Физический маятник – твердое тело, которое может совершать
колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием
силы тяжести.
Положение маятника будем
определять углом φ отклонения
линии ОС от вертикали.
Р — вес маятника
О
φ
С
Р
2
Физический маятник
K
а — расстояние ОС от центра
масс до оси подвеса, JO —
момент инерции маятника
относительно оси подвеса.

3. ЗАКОН КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА

Для определения закона колебаний маятника воспользуемся
дифференциальным уравнением вращательного движения.
В данном случае Mo= -P a sin φ, т.к. при φ <0 момент положителен, а
при φ >0 момент отрицателен.
J O Pa sin
k PaJ O
2
k sin 0
2
Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая угол
малым и приближенно sin , тогда уравнение примет вид:
2
k 0
Это уравнение совпадает по виду с дифф.
Уравнением свободных прямолинейных
колебаний, следовательно его общим решением
будет:
С1 sin kt C2 cos kt
Закон колебания при данных условиях:
3
Физический маятник
0 cos kt

4. СЛЕДСТВИЕ. ПРИВЕДЕННАЯ ДЛИНА

Малые колебания физического маятника являются гармоническими,
период колебаний маятника (при замене k) определяется формулой:
2
Tф
k
JO
2
Pa
l
Tм 2
g
Т.е. при малых колебаниях период не
зависит от начального угла.
JO g JO
l1
Pa Ma
При длине l1 период колебаний
математического маятника
совпадает с периодом колебаний
соответствующего физического
маятника.
Приведенная длина физического маятника – это длина такого
математического маятника, период колебаний которого равен периоду
колебаний данного физического маятника.
4
Физический маятник

5. ЦЕНТР КАЧАНИЙ

Точка K отстоящая от оси подвеса на расстоянии ОК=l1, называется
центром качаний физического маятника.
О
По теореме Гюйгенса:
2
O
C
J J Ma
φ
С
K
Р
5
Физический маятник
JO
J O Ma
l1 a
Ma
J O J C Ma 2
l1
Ma
Ma
2
(для
математического
маятника)
JC
l1 a
Ma
Отсюда следует, что ОК всегда
больше, чем ОС=а, т.е. центр
качаний расположен всегда
ниже центра масс.

6. ВЫВОД

JC
l1 a
Ma
О
JC
KC
Ma
JC
l2 KC
( M KC )
K
С
φ
φ
С
K
О
Р
Р
Если поместить ось подвеса в
точке К, то приведенная длина
l2 будет:
JC
a l1
Ma
или
JC
KC a
M
Следовательно точки К и О являются взаимными, т.е. если ось
подвеса будет проходить через К, центром качаний будет О и
период колебаний не изменится.
6
Физический маятник

7.

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА

8. Жан Леро́н Д’Аламбе́р (16.11 1717 — 29.10 1783) французский учёный-энциклопедист. философ, математик и механик. Член Парижской академии наук(1740) Фра

8
Принцип Д’Аламбера
8

9. Принцип Даламбера для материальной точки:

Введем вектор силы инерции точки и назовем введенный
вектор Даламберовой или просто силой инерции. Эта
сила - фиктивная.
и
F ma
и
F Ф
и
F
a
В каждый момент движения материальной точки
активные силы, реакции связей и сила инерции
образуют уравновешенную систему сил.
а
F N Ф 0
9
Принцип Д’Аламбера
Ф
N
a а
F

10.

Запишем второй закон Ньютона:
a
F N ma
Теперь если ввести, помимо всех внутренних и
внешних сил фиктивную силу инерции, то ...
Сила инерции данной точки уравновешивает все
приложенные к ней внутренние и внешние силы.
a
F N ma 0
10
Принцип Д’Аламбера
иначе:
a
F N Ф 0

11. Пример:

Груз массой m опускается равноускоренно с
помощью невесомого троса, перекинутого через
блок, и за время t проходит расстояние L.
Определить силу натяжения троса.
Ф
L
T
m
a
mg
11
Принцип Д’Аламбера
0
2
0
at
L
2
2L
a 2
t
T Ф mg 0
T mg Ф
2L
T m g a m g 2
t

12. Принцип Даламбера для механической системы:

Для движущейся механической системы в любой момент
времени геометрическая сумма главных векторов
внешних активных сил, сил реакций связей и сил
инерции равна нолю; геометрическая сумма главных
моментов внешних активных сил, реакций связей и сил
инерции равна нулю.
e
F
k
k 1
N
e
N
k
k 1
N
e
M
(
F
)
0
k
k 1
N
12
Принцип Д’Аламбера
Ф
0
k
k 1
N
e
M
(
N
)
0
k
k 1
N
M
(
Ф
)
0
0
k
k 1
N

13.

a
Fk - главный вектор активных сил
n
k 1
n
N k - главный вектор реакций связей
k 1
Фk - главный вектор сил инерции
n
k 1
n
a
M
(
F
)
0
k
k 1
- главный момент активных сил
M 0 ( Nk )
k 1
- главный момент реакций связей.
M
(
Ф
)
0
k
k 1
- главный момент сил инерции
n
n
13
Принцип Д’Аламбера

14.

a
F1 N1 m1a1 0
a
F2 N 2 m2 a2 0
…………………………………
a
Fn N n mn an 0
Сложим все уравнения полученной системы:
n
a n
Fk N k mk ak 0
n
k 1
k 1
или
k 1
n
a n
Fk N k Фk 0
n
k 1
14
Принцип Д’Аламбера
k 1
k 1

15. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ

n
n
Фk Ф
k 1
k 1
Как определить эти величины?
n
n
n
Fka
Nk
ma c
Fke
k 1
k 1
k 1
n
a n
Fk N k Фk 0
n
k 1
k 1
k 1
Теорема об изменении момента
импульса
12
Принцип Д’Аламбера
Ф
M 0 (Фk ) M 0
Ф mac
Ф
M 0 dK 0 / dt
Ф
Mz
J z

16. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА

a
Ф1
Ф mac
Ф2
Ф1 ma
12
Принцип Д’Аламбера
Ф2 maC 2