Логарифм неравен

1. Логарифмические неравенства

Неравенства вида loga f(x) > logа g(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими неравенствами
loga f(x) > logа g(х)
а>1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
или
loga x f x loga x g x
0<а<1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
a x 1 f x g x 0,
f x 0,
g x 0,
a x 0.

2. Логарифмические неравенства. Примеры

Пример 1
log3 2x 4 log3 14 x
Пример 2
log 1 16 4x x 2 4
2
т.к. а 3 1, тознакнер.остается
1
2
log 1 16 4x x log 1
2
2 2
2x 4 14 x ,
2x 4 0,
14 x 0;
4
log 1 16 4x x 2 log 1 16
2
2
1
т.к.а 1, тознакнерав. меняется
2
3x 18,
x 2,
x 14;
16 4x x 2 16,
16 4x x 2 0; лишнее условие
4x x 2 0
x 2 4х 0
x 6,
x 2,
x 14;
x x 4 0
2
6
Ответ: (6; 14).
14
х
+
0
−
Ответ: [0; 4].
4
+
х

3.

Логарифмические неравенства. Примеры
Пример 3
lg x lg 45 x 2 lg 2
lg x 45 x lg100 lg 2
lg 45x x 2 lg 200
т.к . а 10 1, то
45x x 200,
45 x 0,
x 0;
2
Пример 4
log22 x 2 5log2 x 1 0 ОДЗ : x 0
2log x 5log x 1 0
2
2
2
2
2
4log x 5 log2 x 1 0
пусть log 2 x t , тогда
4t 2 5t 1 0
н .ф. : 4t 2 5t 1 0
1
t
1 4,
+
+
−
2
2
x 45x 200 0, н .ф. : х 45 tх2 200
0
1;
t
1
1
х1 5
x 45,
1,
4
х 40 ; t 1
x 0;
2 4
Вернемся к исходной переменной
+
−
+
1
х
log2 x 1, т.к . а 2, то
0 5
40 45
4
Ответ: (0; 5) ∪ (40; 45).
4
2 х 2
Ответ : [4 2 ; 2].

4.

Логарифмические неравенства. Примеры
Пример 5
logx 2 2x 3 logx 2 24 6x
Возможны два случая :
x 2 1,
2x 3 24 6x ,
1
2x 3 0,
24 6x 0;
x 3,
x 27 ,
8
x 1,5,
x 4;
1,5 3 3,375 4
x ∈ (3,375; 4)
0 x 2 1,
2x 3 24 6x ,
2
2x 3 0,
24 6x 0;
2 x 3,
x 27 ,
8
x 1,5,
x 4;
х
1,5 2 3
Ответ: (2; 3)∪(3,375; 4) .
х
3,375 4
x ∈ (2; 3)