Определитель матрицы

1.

Определитель или детерминант
– это число,
характеризующее квадратную
матрицу.
Обозначается:
a11 a12
a21 a22
A det A det( aij ) A
... ...
an1 an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann

2.

Для определителей, как и для матриц,
используются такие понятия, как строка,
столбец, диагональ и т.д.
Квадратная матрица, определитель
которой не равен нулю, называется
невырожденной.
Квадратная матрица, определитель
которой равен нулю, называется
вырожденной.

3.

Определителем первого порядка
матрицы
A (a11)
называется число
То есть:
A a11 a11
a11

4.

Определителем второго порядка
называется число, которое
определяется по правилу:
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a12 a 21

5.

Определителем третьего порядка
называется число, которое
определяется по правилу:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a32 a33
a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32

6.

Для вычисления определителей третьего
порядка удобно пользоваться правилом
треугольников:

7.

Вычислить определители матриц:
1 2
A
3 5
1 1 1
B 2 1 1
1 1 2

8.

A
1
2
3 5
1 5 ( 3) 2 11
1 1 1
B 2 1 1
1 1 2
1 1 2 ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 1 ( 1) 2 2 1 1 1 5

9.

Минором некоторого элемента
определителя называется определитель,
полученный из исходного
вычеркиванием строки и столбца,
на пересечении которых стоит
данный элемент.
Минор элемента определителя
обозначается как
M ij
a ij

10.

Алгебраическим дополнением
некоторого элемента определителя
называется минор этого элемента,
умноженный на (-1)i+j , где i+j – сумма
номеров строки и столбца, на
пересечении которых стоит данный
элемент.
Aij ( 1)
i j
M ij

11.

В частности, минор элемента
a11
определителя третьего порядка найдется по
правилу:
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31 a32
a33
a22
M 11
a32
Его алгебраическое дополнение:
1 1
A11 ( 1) M11 M11
a23
a33

12.

Сумма произведений элементов любого
столбца (строки) на алгебраические
дополнения соответствующих
элементов другого столбца (строки)
равна нулю.

13.

Например,
пусть дан определитель:
1 1 1
B 2 1 1
1 1 2
Найдем
алгебраические
элементов первой строки:
M 11
1 1
M 12
2 1
1 1
A11 ( 1)
1 2
A12 ( 1)
1 2
1 2
дополнения
2 1 1
(4 1) 3

14.

1 3
A13 ( 1)
M 13
2 1
1 2
4 1 3
Умножим каждый элемент первой строки на
алгебраическое
дополнение
соответствующего элемента второй строки
и эти произведения сложим:
2 1 1 ( 3) 1 1 0

15.

1
Определитель транспонированной
матрицы равен определителю
исходной матрицы.
A A
T

16.

Например:
1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
1
2 1
B 1 1 1 2 2 1 1 4 1 5
T
1
1 2

17.

2
Перестановка двух строк или
столбцов определителя
эквивалентна умножению его
на (-1).

18.

Например:
1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
Меняем местами первую и вторую строки:
2
1
1
1 1 1 4 1 1 1 2 2 5
1
1
2

19.

3
Если определитель имеет две
одинаковые строки или столбца,
то он равен нулю.

20.

Например:
1 1 3
2 2 2 4 4 12 12 4 4 0
2 2 2

21.

4
Общий множитель строки или
столбца можно выносить за знак
определителя.

22.

Например:
1 1 1
2
2
2 4 2 2 2 4 2 4
1
1
2
Выносим из второй строки множитель 2:
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 1 1 1 2 (2 1 1 1 2 1) 2 2 4
1 1 2
1 1 2

23.

Это свойство можно записать так:
Если все элементы некоторой
строки умножить на одно и тоже
число, то определитель
умножается на это число.

24.

5
Определитель не изменится, если
к элементам одной строки или столбца
прибавить соответственные элементы
другой строки или столбца,
умноженные на одно и то же число.

25.

Например:
1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
Первую строку умножаем на 2 и складываем
со второй:
1 1 1
4 1 3 2 3 4 1 8 3 5
1
1
2

26.

6
Если все элементы некоторой
строки определителя равны нулю, то
определитель тоже равен нулю.

27.

Например:
0 0 0
B 2 1 1 0
1 1 2

28.

7
Определитель, содержащий две
пропорциональные строки или столбца,
равен нулю.

29.

Например:
4 2 2
B 2 1 1 8 2 4 2 8 4 0
1 1 2

30.

8
Определитель равен сумме
произведений элементов какойлибо строки или столбца на их
алгебраические дополнения:
n
A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aik Aik
k 1

31.

Вычислить определитель:
5
1
2
7
3
0
0
2
1
3
4
5
2
0
0
3

32.

Раскладываем
строке:
определитель
по
второй
5 1 2 7
3 0 0 2
1 3 4 5
3 A21 0 A22 0 A23 2 A24 3 A21 2 A24
2 0 0 3
Находим алгебраические дополнения:
=

33.

1 2 7
A21 ( 1) 2 1 M 21 3 4 5 (12 0 0 0 18 0) 6
0 0 3
5 1 2
A24 ( 1) 2 4 M 24 1 3 4 0 8 0 12 0 0 4
2 0 0
Подставляем полученный результат:
=
3 6 2 ( 4) 10

34.

Таким образом, вычисление определителя n
порядка
сводится
к
вычислению
n
определителей n-1 порядка.
Во многих случаях такое вычисление может
оказаться очень громоздким.
Задача существенно упростится, если в
определителе имеются нули. Например, если
какая-то строка или столбец содержат только
один ненулевой элемент, то раскладывая
определитель по этой строке (столбцу), мы
получим только одно ненулевое слагаемое.
Поэтому удобно преобразовывать заданный
определитель, чтобы получить в нем нули.

35.

Рассмотрим предыдущий пример:
5
1
2
7
3
0
0
2
1
3
4
5
2
0
0
3
В данном определителе уже имеются нули,
например, в третьем столбце их два.
Сделаем так, чтобы в нем остался один
ненулевой элемент.
Для этого умножим второй столбец на -2 и
сложим его с третьим:

36.

2
5
1
2
7
5
1
0
7
3
0
0
2
3
0
0
2
1
3
4
5
1
3
2
5
2
0
0
3
2
0
0
3
5
1
7
2 3
0
2 2 0 4 0 0 9 0 10
2
0
3