087a38bdfd824071b20773068db22fd3

1. Математический диктант

Найти производную.
y = cos 5º
у = sin х + 3.
у = - 4cos х.
у = sin 2х
у = cos х - 3 х.
у = 2sin x + x3
у = cos (3х -45º )

2. Пример 1:

Найдите значение производной
функции в точке X0:
A) f(x) = x∙cosx , X0= π
f`(x) = (x)`cosx + x(cos x)` =
= 1 ∙cos x + x∙ (- sin x)=
= cos x – x∙sin x
f`( π ) = cos π - π∙ sin π =
= -1 - π∙ 0 = -1-0 = -1
Пояснения к решению
1. Применим правило
производная произведения:
(u ∙ v)` = u`v + u∙v`
2. Применим правило:
(x)` = 1,
3. Применим формулу:
(cos x)` = - sin x
4. Найдем значение производной
в указанной точке X0
в производную функции вместо
х подставим π.
5. По таблице значений
тригонометрических функций:
sin π = 0 ; cos π. = -1

3. Пример 2:

Найдите значение производной
функции в точке X0:
Б) f(x) =4
, X0=
f`(x) = 4 ∙3
(sin x)` =
= 4∙ 3
∙cos x =6∙ 2 sin x∙cos x ∙sin x =
= 6 sin 2x∙ sin x.
f`( ) = 6 sin(2∙ )∙ sin =
= 6 sin ∙ sin
= 6∙
=
= 1,5
∙ =
Пояснения к решению
1. Применим правило
производная степени:
(X n)` = n X n-1
2. Применим правило
дифференцирования сложной
функции:
(f(g(x))` = f(g(x))∙g`(x)
3. Применим формулу:
(sin x)` = cos x
4. Найдем значение производной в
указанной точке X0
в производную функции вместо х
подставим
5. По таблице значений
тригонометрических функций:
sin
=
; sin
=

4. Пример 3:

А) Найти: точки, в которых производная равна нулю.
у = sin 2x.
Функция определена и дифференцируема на множестве всех действительных чисел.
Вычисление производной:
f '(x) = (sin2x)'
f '(x) = (sin2x)' = cos 2x∙(2x)`=
f '(x) = 2cos2x
Применяемые формулы:
(sin x)` = cos x
(f(g(x))` = f(g(x))∙g`(x)
(cu)` = cu`
(x)` = 1
Решение уравнения
2cos 2x = 0
cos 2 x = 0
Пояснения к решению.
Разделим обе части уравнения на 2.
Применим частный случай для
решения уравнения вида cos x = a :
x
2
n
2x =
+ πn, n€Z
Разделим все части выражения на 2
x=
+
n€Z
Точки, в которых производная равна
нулю.

5. Пример 4:

Б) Найти: точки, в которых производная равна нулю.
у = cos (3x + ) .
Функция определена и дифференцируема на множестве всех действительных чисел.
Вычисление производной:
f '(x) = (cos(3x + ))'
f '(x) = - sin(3x + )( 3x + )`=
f '(x) = - 3sin (3x + )
Применяемые формулы:
(cos x)` = -sin x
(f(g(x))` = f(g(x))∙g`(x)
(cu)` = cu`
(x)` = 1
Решение уравнения
-3sin (3x +
)= 0
sin (3x +
)=0
Пояснения к решению.
Разделим обе части уравнения на -3.
Применим частный случай для
решения уравнения вида sin x = a :
x n , n €Z
Разделим все части выражения на 3
Точки, в которых производная равна
нулю.
3x +
3x = x=-
= πn, n€Z
+ πn,
n€Z
+
, n€Z

6. Самостоятельная работа

Найти производную.
y = sin 10º
у = cos х – 6.
у = - 2sin х.
у = cos 3х
у = sin х + 2 х.
у = x2 – 3cos х
у = sin (2х + 30º)
y=2x sinx
y= sinx cosx
у = sin (2х + )
у = cos 3х