Третя ознака рівності трикутників

1.

2. Означення

• Трикутник – замкнена
ламана з трьох ланок.
• Запис: АВС
• Точки А, В, С – вершини
• Відрізки АВ, ВС, СА –
сторони
• Р = АВ + ВС + СА.
• А, В, С - кути АВС
• Прямокутний,
тупокутний,
гострокутний трикутники
С
А
В

3. Медіана трикутника

– відрізок, що сполучає вершину
трикутника із серединою його
протилежної сторони
AK, BM, CD –
медіани
С
К
М
AD = DB,
O
BK = KC,
CM = MA
А
D
В

4. Бісектриса трикутника

- це відрізок
бісектриси кута
трикутника від його
вершини до
протилежної сторони
- AK, BD, CL –
бісектриси ABC
- BAK = KAC;
ABD = DBC;
ACL = LCB.
С
D
К
O
А
L
В

5. Висота трикутника

С
K
H
А
O
D
В
- це перпендикуляр,
опущений з вершини
трикутника на
пряму, на якій
лежить його
протилежна сторона
- AK, BH, CD - висоти
ABC
- AK BC, BH AC,
CD AB

6. Сума кутів трикутника

• Сума кутів
трикутника
дорівнює 180о.
• КР АВ
• 1= А; 2= В;
1+ 2+ С=180о;
тоді
о
А+ В+ С=180 .
К
С
1
А
Р
2
В

7. Зовнішній кут трикутника

- кут, утворений
стороною
трикутника і
продовженням його
іншої сторони.
- Він дорівнює сумі
двох внутрішніх
кутів трикутника, не
суміжних з ним.
- Він більше кожного
внутрішнього кута,
не суміжного з ним.
К
А
В
С

8. Рівність геометричних фігур

• Якщо фігури можна сумістити рухом,
то вони рівні
• Якщо кожна з двох фігур дорівнює
третій, то перша і друга фігури рівні.
• ABC = КРТ, тоді розуміють, що
А = К, В = Р, С = Т, АВ = КР,
АС = КТ, ВС = РТ.
Р
К
Т

9. Перша ознака рівності трикутників

• Якщо дві сторони і кут між ними
одного трикутника дорівнюють
відповідно двом сторонам і куту між
ними другого трикутника, то такі
трикутники рівні.
В
А
В1
С
А1
С1
Дано: АВС і А1В1С1,
АВ = А1В1,
АС = А1С1,
А = А1
Довести: АВС = А1В1С1

10. Друга ознака рівності трикутників

Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного
трикутника дорівнюють відповідно стороні й
прилеглим до неї кутам другого трикутника,
то такі трикутники рівні.
В
А
В1
С
А1
С1
Дано: АВС і А1В1С1,
АС = А1С1,
А = А1 ,
C = C1
Довести: АВС = А1В1С1

11. Рівнобедрений трикутник

В
N
А
С
• ΔАВС – рівнобедрений;
АВ = ВС – бічні сторони,
АС – основа.
• ΔMNK – рівносторонній;
MN = NK = KM.
• ΔDEF – різносторонній.
К
M
E
D
F
Трикутники
Рівнобедрені
трикутники
рівносторонні
різносторонні

12. Властивість рівнобедреного трикутника

•Теорема 12. У рівнобедреного трикутника
кути при основі рівні, а бісектриса, проведена
до основи, є медіаною і висотою.
А
• ΔАВС – рівнобедрений, ВС – основа.
• АL –бісектриса, тому ВАL= CAL; ΔBAL=ΔCAL
(AB=AC, AL – спільна сторона, ВАL= LAC);
В
L
С
• Отже, В= С, тобто кути при основі ΔАВС
рівні;
• BL=CL, тобто AL – медіана ΔАВС;
• ALB= ALC=90o, тобто AL – висота ΔАВС.

13. Ознака рівнобедреного трикутника

• Теорема 13. Якщо в трикутнику два
кути рівні, то він рівнобедрений.
• У АВС В= С.
Доведемо, що АВ = АС.
Проведемо бісектрису AL.
А
В
L
С
• АВL= ACL ( B = C, BAL= CAL,
тому ALB= ALC; AL – спільна
сторона)
• Отже, АВ = АС і АВС - рівнобедрений
Наслідок. У трикутнику проти рівних сторін лежать
рівні кути, а проти рівних кутів – рівні сторони.

14. Третя ознака рівності трикутників

Теорема
14.
Якщо
три
сторони одного трикутника
дорівнюють
відповідно
трьом сторонам другого
трикутника,
то
такі
трикутники рівні.
С
А
В
С1
А1
В1
С
А
В
С2
Дано: АВС і А1В1С1,
АВ = А1В1,
ВС = В1С1,
АС = А1С1.
----------------------------------Довести: АВС = А1В1С1.

15. Запропонуй доведення, коли …

С
А
С1
В
В1
А1
С2
С
С1
А
С2
В
А1
В1
• Вершина А
належить
відрізку СС2.
• Вершини А і
В розміщені
по один бік
від відрізка
СС2.

16. Побудова трикутника за трьома сторонами

17. Висновки

Трикутник
однозначно
визначається:
• двома
сторонами і
кутом між
ними;
• стороною і
прилеглими
кутами;
• трьома
сторонами.

18. Застосуй отримані знання

У трикутниках АВС і А1В1С1 АС = А1С1,
ВС = В1С1. Яку рівність необхідно додати
до
умови,
щоб
рівність
даних
трикутників можна було довести за
третьою ознакою?
Три
сторони
одного
трикутника
дорівнюють трьом сторонам другого
трикутника. Чи є рівними кути між
відповідно рівними сторонами цих
трикутників? Чому?

19. Застосуй отримані знання

• Чи правильно, що два
рівносторонні трикутники
рівні, якщо вони мають
однакові периметри?
• Чи правильно, що два
довільні трикутники рівні,
якщо вони мають однакові
периметри?
Чи виконується обернене
твердження?

20. Задача 1

В
А
С
D
• На рисунку
АВ = CD,
BC = AD.
Доведіть
рівність
трикутників
ABD і CDB.

21. Задача 2

В
А
С
D
• На рисунку АВС = CDA.
Доведіть, що ABD = CDB.

22. Задача 3

В
С
O
А
D
• На рисунку АВ = CD, AC = BD.
Доведіть рівність кутів ABD і DCA.

23. Обґрунтуйте

за допомогою третьої ознаки рівності трикутників, що :
A
C
N
• АВС = MNK;
M
K
B
В
А
• АВС = ADC;
С
D
B
• BDC = CAB.
C
M
A
D

24. Висновки

В
и
с
н
о
в
к
и