Презентация_Реферат_ДП

1. Динамическое программирование и оптимизация траекторий движения

ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ И
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ
ДВИЖЕНИЯ

2. План презентации

ПЛАН ПРЕЗЕНТАЦИИ
• 1. Введение
• 2. Динамическое программирование (DP)
• 3. HJB и принцип Беллмана
• 4. Принцип максимума (PMP)
• 5. Методы решения
• 6. Примеры: LQR, bang-bang
• 7. Применения и рекомендации
• 8. Заключение и источники

3. Введение

ВВЕДЕНИЕ
• Актуальность: автономные системы (БПЛА, роботы,
автомобили).
• Цель: обзор DP и оптимизации траекторий.
• Задачи: теория, методы, примеры, рекомендации.

4. Динамическое программирование — суть

ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ —
СУТЬ
• Принцип оптимальности Беллмана: рекурсивное
разложение.
• Value function V(x,t) — cost-to-go.
• Дискретная формула: V_k(s)=min_a{c + V_{k+1}}.

5. Уравнение HJB

УРАВНЕНИЕ HJB
• -∂V/∂t = min_u { L + ∇V^T f }
• Определяет оптимальную политику u*(x,t).
• Трудности: решение PDE и проклятие размерности.

6. Принцип максимума Понтрягина

ПРИНЦИП МАКСИМУМА
ПОНТРЯГИНА
• Гамильтониан H = p^T f + L.
• Условия: dot x = dH/dp, dot p = -dH/dx, u* = argmin H.
• Часто приводит к краевой задаче — метод стрельбы.

7. Методы решения (обзор)

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
(ОБЗОР)
• Дискретное DP — глобальный поиск на сетке
(высокая сложность).
• Непрямые методы — PMP + shooting (точные,
чувствительны).
• Прямые методы — collocation → NLP (IPOPT, SQP).
• MPC, RRT*, RL — современные гибриды для практики.

8. Пример: LQR

ПРИМЕР: LQR
• Система: ṡx = A x + B u.
• J = 1/2 x(T)^T S x(T) + 1/2 ∫(x^T Q x + u^T R u) dt.
• u* = -R^{-1} B^T P(t) x, P — уравнение Риккати.

9. Пример: bang-bang

ПРИМЕР: BANG-BANG
• Задача минимума времени с ограничением |u| ≤
u_max.
• Оптимум: u принимает граничные значения ±u_max.
• Переключения определяются сопряжёнными
переменными.

10. Дискретная DP — практический пример

ДИСКРЕТНАЯ DP —
ПРАКТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР
• Робот на сетке M×N, переходы по четырём соседям.
• Рекурсивно вычисляем V и policy — кратчайший путь.
• Связь с A*, D* при применении эвристик.

11. Применения

ПРИМЕНЕНИЯ
• Автомобили: слежение и уклонение (MPC).
• БПЛА: манёвры и экономия топлива (collocation).
• Манипуляторы: оптимизация траекторий (splines +
NLP).
• Космические аппараты: минимизация топлива.

12. Рекомендации

РЕКОМЕНДАЦИИ
• Малые размерности: непpямые методы (PMP).
• Линейные модели: LQR/ARE.
• Ограничения: прямые методы + NLP.
• Реальное время: MPC, model reduction.

13. Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• DP и оптимальное управление — теоретическая
база.
• Практика: гибридные подходы (планирование +
локальная оптимизация).
• Дальнейшие шаги: иллюстрации, расчёты, ГОСТоформление.

14. Источники

ИСТОЧНИКИ
• Bellman R. Dynamic Programming, 1957.
• Bertsekas D.P. Dynamic Programming and Optimal
Control.
• Pontryagin L.S. The Mathematical Theory of Optimal
Processes.
• Sutton R.S., Barto A.G. Reinforcement Learning.

15. Спасибо!

СПАСИБО!
• Готова доработать презентацию: добавить схемы,
графики или анимации по запросу.