Лекция_6_Логарифмическая_производная_Дифференциал

1. Производная функции

Производная сложной функции
Логарифмическое дифференцирование
Дифференциал функции
Геометрический смысл дифференциала
Основные теоремы о дифференциалах
Применение дифференциала в приближенных
вычислениях

2. Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с
промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную u x в точке x а
функция y = f(u) имеет производную y u в соответствующей точке
u , то сложная функция имеет производную y x , которая
находится по формуле:
y x y u u x
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов
несколько:
y f (u );
u (v );
v g( x )
y x y u uv v x
y f ( (g ( x )))

3. Пример

Вычислить производную функции
y cos(ln12 x )
Данную функцию можно представить следующим образом:
y cos u; u v 12 ; v ln x
y x y u uv v x
y u sin u sinv 12 sin ln12 x
u 12v 11 12 ln11 x
1
v
x
y sin ln12 x 12 ln11 x
Коротко:
y (cos(ln 12 x )) sin(ln 12 x ) (ln12 x )
sin(ln 12 x ) 12 ln11 x (ln x )
1
x

4. Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим еще один способ дифференцирования, который
обычно применяется для функций вида
y u x
v x
u
v
Такую функцию нельзя отнести ни
показательным. Поэтому ее часто
показательной функцией.
к степенным, ни к
называют степенно-
Однако она является
представить в виде
так
элементарной,
как
ее
можно
y u v ev ln u
Вычислим производную такой функции
u e e
v
v ln u
v ln u
1
v ln u u v ln u v u
u
v

5. Логарифмическое дифференцирование

Часто для вычисления производных от степенно-показательных
функций используют другой прием, который называется
логарифмическое дифференцирование.
Логарифмируем обе части равенства y u
v
ln y v ln u
Дифференцируем обе части последнего равенства по x, помня,
что y – это функция, зависящая от x:
1
1
y v ln u v u
y
u
Отсюда
1
y u v ln u v u
u
v

6. Логарифмическое дифференцирование

y sin x
x 2 1
ln y ln sin x
x 2 1
ln y ( x 2 1) ln sin x
y
( x 2 1) ln sin x ( x 2 1) (ln sin x )
y
y
cos x
x 2 1
2
y 2x ln(sin x ) ( x 1)
y sin x
y
sin x

7. Логарифмическое дифференцирование

Предварительное логарифмирование применяют и тогда, когда
производная от логарифма функции вычисляется проще, чем от
самой функции. Логарифм преобразует произведение функций,
частное функций в сумму или разность соответственно, а это
упрощает дифференцирование.
x 2 4 ( x 1)3 e x
x 2 4 ( x 1)3 e x
y
ln y ln
5
5
2x 5
2x 5
3
ln y 2 ln x ln( x 1) x 5 ln( 2 x 5)
4
y 2 3 ( x 1)
(2x 5)
1 5
y
x 4 x 1
2x 5
2 4
3
x
y 2
3
10
x
(
x
1
)
e
y
y
1
y
x 4x 4
2x 5
2x 5 5

8. Логарифмическое дифференцирование

9. Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х отличную
от нуля производную, следовательно существует предел:
y
y
lim
f (x) 0
( x ) ( x )
f
x 0 x
x
где ( x ) 0 при x 0
По теореме о связи
функции, ее предела и
бесконечно малой
y f ( x ) x ( x ) x
функции
Таким образом, приращение функции y представляет собой
сумму двух слагаемых: f ( x ) x и x , являющимися
бесконечно малыми при x 0 .
При этом первое слагаемое есть бесконечно малая одного
порядка с x , так как:
f ( x ) x
lim
f ( x ) 0
x 0
x

10. Дифференциал функции

Второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого
порядка по сравнению с x , так как:
lim
x 0
( x ) x
x
(x) 0
Поэтому первое слагаемое f ( x ) x называют главной
частью приращения функции.
Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется
главная часть ее приращения:
dy f ( x ) x
Найдем дифференциал независимой переменной, то есть
функции y x :
Дифференциал
Дифференциал
функции
y x 1 dy dx x
Поэтому:
dy f ( x )dx
независимой
переменной
равен произведению
равен
приращению
этой
производной
функции
на
переменной
dy
дифференциал
независимой
f ( x ) переменной
dx

11. Дифференциал функции

Найти приращение и дифференциал функции
y x3
y f x x f x x x 3 x3
x 3x x 3x x x x 3x 2 x 3x x x
3
2
2
3
2
3
dy
Тогда
o x
dy 3x 2 x 3x 2dx
Проще дифференциал можно найти с помощью производной
dy x dx 3x 2 dx
3
3

12. Геометрический смысл дифференциала

Проведем к графику функции y = f(x) в точке М(x, y) касательную
Рассмотрим ординату
касательной для точки x+Δx.
Из прямоугольного треугольника
AВМ имеем:
y
М1
f(x+ Δx )
y
f(x )
dy
x
α
0
B
М
х
A
x+Δx
tg
х
AB
x
AB tg x
Согласно геометрическому смыслу производной, tg f (x )
AB f ( x ) x dy
Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению
ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x
получает приращение Δx.

13. Основные теоремы о дифференциалах

Теорема 1
Дифференциал суммы, разности, произведения и
частного двух дифференцируемых функций находится
по формулам:
d (u v ) du dv
d (u v ) v du u dv
Теорема 2
u
v du u dv
d( )
v
v2
Дифференциал сложной функции равен произведению
производной этой функции по промежуточному
аргументу на дифференциал этого промежуточного
аргумента.
y x y u u x y x dx y u u x dx
dy y u du
dy
Это свойство
du дифференциала
называют инвариантностью
(неизменностью) формы
дифференциала.

14. Основные теоремы о дифференциалах

Найти дифференциал функции y cos3 x
dy d (cos3 x) 3 cos2 xd (cos x) 3cos2 x sin x dx
3sin x cos2 xdx

15. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях

Как известно, приращение функции можно представить в виде:
y f ( xdy
) x ( x ) x
Отбрасывая бесконечно малую ( x ) x более высокого порядка,
dy
чем x , получим приближенной
равенство:
y dy
Это равенство позволяет с большой точностью вычислять
приращение любой дифференцируемой функции.
Подставим в равенство выражения для приращения и
дифференциала функции:
f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x
f ( x0 x ) f ( x0) f ( x0) x
Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в
точке x0+Δx, зная значение функции в точке x0.

16. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях

Вычислить приближенно:
Рассмотрим функцию:
arctg1,05
y arctg x
arctg ( x0 x ) arctg ( x0 ) arctg ( x0 ) x
Так как
x0 x 1,05
arctg 1
4
то
(arctg x )
x0 1 x 0,05
1
1 x 2
1
arctg (1,05) 0,05 0,81
4 2
(arctg x ) x 1
1
2

17. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях

Вычислить приближенно:
4
5 x 2 12 x 7 в точке x 2,995
Рассмотрим функцию: y 4 5x 2 12 x 7
Пусть x0 3, тогда x0 x 2,995
x 2,995 x0 2,995 3 0,005
f x0 4 5 32 12 3 7 4 16 2
y 5 x 12 x 7
1/ 4
2
5x 6
2
4
5x 12 x 7
2
3
14 5x 12 x 7 5x 12 x 7
то
2
f x0
3 / 4
5 3 6
2
3
2 4 5 32 12 3 7
9
16
f (2,995) f 3 f 3 x
f (2,995) 2
9
0,005 1,997
16

18. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях