2_3 Исследование функции24

1.

§ 11. Монотонность функции.
Экстремумы функции
Опр.1. Функция y = f (x), определенная на отрезке [a; b],
называется возрастающей (убывающей) ( f , f ) на этом
отрезке, если из неравенства x1 < x2, где x1 и x2 – любые две
точки, принадлежащие данному отрезку, следует неравенство
f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)).
y
y
x1
x2
x1
x2
x
x
f (x2)
f (x1)
a
f (x1)
f (x2)
б
Интервал, на котором функция возрастает или убывает,
называется интервалом монотонности функции.

2.

Тh (необходимое условие возрастания (убывания)
функции). Если дифференцируемая функция y = f (x) на
интервале (a; b) возрастает (убывает) на этом промежутке, то
ее производная f ′(x) неотрицательна f ′(x) ≥ 0
(неположительная f ′(x) ≤ 0) x a; b .
Доказательство.
Пусть функция y = f (x) возрастающая на интервале (a; b).
Рассмотрим две точки x и x + ∆x, принадлежащие интервалу (a; b).
Тогда, при ∆x > 0, f (x + ∆x) – f (x) > 0,
а при ∆x < 0, f (x + ∆x) – f (x) < 0, в любом случае, имеем
y f x x f x
0.
x
x
y
lim
f x 0.
x 0 x
Аналогично доказывается для убывающей функции. ◄

3.

Тh (достаточное условие возрастания (убывания)
функции). Если непрерывная на отрезке [a; b] функция y = f (x)
в каждой внутренней точке этого отрезка имеет положительную
(отрицательную) производную, то эта функция возрастает
(убывает) на отрезке [a; b].
Доказательство.
Рассмотрим x1 и x2 из [a; b], причем x1 < x2.
Тогда по теореме Лагранжа имеем:
f (x2) – f (x1) = f ′(c)(x2 – x1), x1 < c < x2.
Во всех точках интервала (a; b) производная f ′(x) > 0,
поэтому f ′(c) > 0.
Т. к. x2 – x1 > 0, то f ′(c)(x2 – x1) > 0
f (x2) –– f (x1) > 0.
f (x2) > f (x1)
f
на [a; b]. ◄

4.

Тh. Для того, чтобы дифференцируемая на промежутке (a; b)
функция y = f (x) не убывала (не возрастала) на этом промежутке
необходимо и достаточно, чтобы производная функции f ′(x)
была неотрицательна (неположительна) f ′(x) ≥ 0 ( f ′(x) ≤ 0).
Особую роль в исследовании функций играют значения x,
отделяющие интервал возрастания от интервала убывания или
интервал убывания от интервала возрастания. Напомним, что x0 —
точка локального экстремума функции f(x), если существует такая
окрестность x0 в которой приращение функции не меняет знак.
Тh (необходимый признак существования экстремума
непрерывной функции). Если непрерывная функция y = f (x)
имеет экстремум в точке x = x0, то производная функции f ′(x) в
этой точке равна нулю или не существует.
Опр.2. Точки, в которых производная функции равна нулю,
называются стационарными. Точки, в которых производная
обращается в нуль или не существует, называются
критическими точками или точками подозрительными на
экстремум.

5.

y
0
y
a
а
x
0
y
b
б
x
0
c
x
в
Равенство нулю производной является необходимым
условием, но это условие достаточным условием наличия
экстремума не является.

6.

Тh (первый достаточный признак существования
экстремума). Если непрерывная функция y = f (x) имеет
производную f ′(x) во всех точках некоторого интервала,
содержащего критическую точку x = x0 (за исключением, может
быть, самой этой точки), и если производная f ′(x) при переходе
аргумента слева направо через критическую точку x = x0 меняет
знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет
максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.
Доказательство.
Пусть при переходе слева направо через критическую точку
f ′(x) меняет знак с + на – .
(x0 – ε; x0 + ε), разобьем его на (x0 – ε; x0) и (x0; x0 + ε).
f
f (x) < f (x0).
На интервале (x0 – ε; x0) f ′(x) > 0
На интервале (x0; x0 + ε) f ′(x) < 0
f
f (x) < f (x0).
(x0 – ε; x0 + ε), f (x) < f (x0).
точка x0 есть точка максимума.
Аналогично доказывается второй случай. ◄

7.

Замечание. Если производная f ′(x) не меняет знак при
переходе через критическую точку, то функция в этой точке не
имеет экстремума.
y′ не существует
y
y′ = 0
y′ > 0
y′ < 0 x
min
xmax
y′ < 0
y′ > 0
xmin
xmax
y′ = 0
x
y′ > 0
y′ не существует

8.

Максимум
Минимум
Нет экстремума

9.

Пример Исследовать на экстремумы функцию y = x(x − 1)2(x − 2)3
y′ = (x − 1)2(x − 2)3 + 2x(x − 1)(x − 2)3 + 3x(x − 1)2(x − 2)2 =
= (x − 1)(x − 2)2[(x − 1)(x − 2) + 2x(x − 2) + 3x (x − 1)] =
= (x − 1)(x − 2)2[(x2 − 3x + 2) + (2x2 − 4x) + (3x2 − 3x)] =
= (x − 1)(x − 2)2[6x2 − 10x +2] = 2(x − 1)(x − 2)2(3x2 − 5x +1)
x=1
x=2
x=
x=
минимум нет экстремума
минимум
максимум

10.

Тh (второй достаточный признак существования
экстремума). Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно
дифференцируема в точке x0, причем f ′(x0) = 0, а f ″(x0) ≠ 0, тогда
если f ″(x0) > 0, то функция в данной точке имеет локальный
минимум, а при f ″(x0) < 0 – локальный максимум.
Доказательство.
Пусть f ″(x0) > 0.
f x0 x 0
f x0 x f x0
0.
f x0 lim
lim
x
0
x 0
x
x
При ∆x < 0 f ′(x) < 0, а при ∆x > 0 f ′(x) > 0,
т. е. при переходе через точку x0 производная меняет знак с
«−» на «+».
x0 минимум. ◄
Замечание. Если f ″(x0) = 0, то второй достаточный признак
существования экстремума не работает.

11.

4 октября 2024 г.
(пятница)
13.00 – 16.00
в ауд. 328-4
состоится
ОЛИМПИАДА
по математике
для студентов 1-го курса
Приглашаются все желающие!
11

12.

Тh (третий достаточный признак существования
экстремума). Пусть функция y = f (x) n-раз непрерывно
дифференцируема
в
точке
x0 ,
причем
f '(x0) = f ″(x0) = … = f (n – 1)(x0) = 0, а f (n)(x0) ≠ 0, тогда если nнечетно, то точка x0 не является точкой локального
экстремума; если n-четно, то точка x0 является точкой
локального экстремума, при этом: если f (n)(x0) > 0, то функция
в точке x0 имеет минимум, если f (n)(x0) < 0, то функция в
точке x0 имеет максимум.
Доказательство.
Если x0 — точка локального экстремума функции f (x), тогда
существует такая окрестность x0, в которой приращение функции
не меняет знак (∆y ≥ 0 в случае минимума и ∆y ≤ 0 в случае
максимума).
x x0
f x f x0 f x0 x x0 f x0
2
2!
x
x
n
n
0
f x0
o x x0
n
n!

13.

n
n
o
x
x
0
f x0
x0
n
n
n f
y
x x0 o x x0 x x0
n
n!
n
!
x x0
n
В случае n = 2k (x – x0)n знак не меняет,
тогда если f (n)(x0) > 0, то и ∆y положительно (не меняет знак), т.
е. x0 точка локального минимума,
если же f (n)(x0) < 0, то и ∆y отрицательно, т. е. x0 точка
локального максимума.
При n = 2k + 1 выражение (x – x0)n при переходе через точку x0
знак меняет, а вместе с ним и приращение ∆y меняет знак,
следовательно в этом случае x0 точкой локального экстремума
не является. ◄

14.

Правило исследования функции на монотонность и экстремум:
1. Найти область определения функции y = f (x) и
интервалы непрерывности;
2. Найти y′ = f ′ (x);
3. Найти критические точки;
4. Наносим эти точки, вместе с точками разрыва на числовую
прямую;
5. Определяем знак производной f ′(x) слева и справа от каждой
из выбранных точек, т.е. на каждом из полученных интервалов;
если f ′(x) > 0, то это интервал строгого возрастания функции,
если же f ′(x) < 0 – интервал строгого убывания;
6. Выписать точки экстремума в соответствии с достаточным
условием и вычислить значения функции в них.

15.

Пример 1. Исследовать на экстремум и найти участки
монотонности функции y 1 x3 x.
3
Решение. Эта функция определена и дифференцируема на
всей числовой оси.
x1 = 1; x2 = –1.
f ′(x) = 0: x2 – 1 = 0;
f ′(x) = x2 – 1.
–
+
–1
f ′(x)
+
1
f (x)
f
x ( ; 1) (1; ).
y
f
x ( 1;1).
2
3
2
ymax y 1 .
3
2
ymin y 1 .
3
–1 2
3
1
x

16.

Пример 2. Исследовать на экстремум
и найти участки
3
монотонности функции y x .
x 1
Область определения (−∞; 1) (1; +∞). Функция непрерывна при
всех x ≠ 1, x = 1 – точка разрыва.
2
3
2
3
x
(
x
1)
x
x
(2 x 3)
y ( x)
.
2
2
( x 1)
( x 1)
–
f
f
+
– + –
0
1
3
x ( ; ).
2
3
x ( ;1) (1; ).
2
3 27
ymin y
.
2 4
y′(x) = 0:
+
3
2
27
4
0
3
x
; x3 1;
x1 0, 2
2
f ′(x)
f (x)
y
1
3
2
x

17.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Согласно теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке
[a; b] функция y = f (x) принимает на нем наименьшее – fнм и
наибольшее – fнб значения. Эти значения достигаются либо во
внутренних точках, либо на концах отрезка.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции y = f (x) на отрезке [a; b]:
1. Найти производную функции f ′(x).
2. Найти критические точки функции, в которых f ′(x) = 0 или
не существует.
3. Найти значения функции в критических точках и на
концах отрезка и выбрать из них наибольшее fнб и наименьшее
fнм.

18.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции y x3 3x 2 3x 2 на отрезке [–2; 2].
y 3x 2 6 x 3 3( x 2 2 x 1) 3( x 1) 2 ,
x 1
y (1) 3,
y ( 2) 24,
y(2) = 4.
унм = –24, унб = 4.

19.

§ 12. Асимптоты графика функции
Опр. 1. Асимптотой графика (от др.-греч. ἀσύμπτωτος —
несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной
ветвью)функции y = f (x) называется прямая, расстояние до
которой от точки графика функции стремится к нулю при
неограниченном удалении точки графика от начала координат.
1. Вертикальные асимптоты.
Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика
функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних
lim f x или lim f x равен бесконечности.
пределов x
a 0
x a 0
y
A
0
a
b
c
x

20.

y
A
a
c
x
0
b
Прямые x = a и x = c – двусторонние вертикальные асимптоты;
x = b – левосторонняя асимптота.
Вертикальных асимптот может быть столько, сколько точек
бесконечного разрыва.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва
функции y = f (x) или на концах ее области определения (a; b),
если a и b – конечные числа.
2. Наклонные асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b.
В частном случае, когда k = 0, мы получаем горизонтальную
асимптоту.

21.

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика
функции y = f (x) при x→+∞, если функцию можно представить
в виде f (x)= k x+b+α(x), где α(x) — бесконечно малая функция
при x→+∞.
Наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть.
Например:
2