Применение производной. Монотонность функции. Точки экстремума, экстремумы функции

1.

2. Содержание

Монотонность функции
Точки экстремума,
экстремумы функции

3. Монотонность функции

Повторим теорию
Функция f возрастает
на множестве P, если
для любых x1 и x2 из
множества P, таких ,
что x1>x2, выполнено
неравенство
f(x1)> f (x2 )
y
1
0
1
y

4. Монотонность функции

Повторим теорию
Функция f убывает
на множестве P, если
для любых x1 и x2 из
множества P, таких ,
что x1>x2, выполнено
неравенство
f(x1)< f (x2 )
y
1
0
1
y

5. Достаточный признак возрастания (убывания)функции

Если f‘ (x)> 0 в каждой
точке интервала P , то
функция возрастает на P.
f‘ (x)
|
+
+
|
|
f (x)
Если f‘ (x)< 0 в каждой
точке интервала P , то
функция убывает на P. f‘ (x)
f (x)
-
|
|
-
|

6. Исследование функции на монотонность с помощью производной

y x 4 8x 2 8
D(y)=R
y
y 4 x 3 16 x
4 x 16 x 0
3
4 x( x 4) 0
2
x1 2
x2 0
x3 2
y
-
|
-2
+
|
0
-
|
2
Функция убывает на
промежутке ?
Функция возрастает на
промежутке ?
+
x

7.

Функция y=f(x) задана на отрезке [a; b].На рисунке
изображен график ее производной. Исследуйте на
монотонность функцию y=f(x). В ответе укажите
количество промежутков, на которых функция
убывает.
y
Функция
возрастает
убывает
y f (x)
f‘f‘(x)<
(x)>00
при
при
x a;0
x c; b
Ответ: 1
1
a
0
1
с
b
y

8.

На рисунке изображен график производной функции
у =f /(x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте
функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее
промежутков убывания.
y
y = f /(x) 4
3
1 3
2
1
2
2
3 1
4 4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)
f(x)
x
1 2 3 4 5 6 7
1
4

9.

Функция у = f(x) определена на промежутке на
промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее
производной. Найдите длину промежутка убывания этой
y
функции.
4
/(x)
y
=
f
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x)
f(x) -6
x
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
3
2

10.

На рисунке изображен график функции y=f(x).
Укажите длину наибольшего промежутка
возрастания этой функции.
y
y f (x)
1
Ответ: 4
0 1
x

11.

Функция y=f(x) задана на промежутке (-6; 5).На
рисунке изображен график ее производной.
Найдите наибольшую из длин промежутков
убывания функции.
y
f‘ (x)< 0
y f (x)
1
0
Ответ: 4
1
x

12. Точки экстремума. Экстремумы функции.

13. Точки экстремума, экстремумы функции

y
Точка x0 называется
точкой
максимума
f(x0)
функции, если для всех
x
из
некоторой
f(x0)≥ f (х )
окрестности выполнено
неравенство :
f(x0)≥ f (х )
f(x0)- максимум функции
1
0
1
x0
y

14. Точки экстремума, экстремумы функции

Точка x0 называется
точкой
минимума
функции, если для всех
x
из
некоторой
окрестности выполнено
неравенство :
f(x0)≤ f (х )
f(x0)- минимум функции
y
1
x0
0
1
y
f(x0)≤ f (х )
f(x0)

15.

x max
xmin
Точки экстремума
y min
y max
Экстремумы функции

16. Критические точки

Внутренние
точки
области
определения
функции, в которых ее
производная
равна
нулю или не существует,
называются
критическими
точками
функции.
этой
Необходимое условие
экстремума
Если точка x0 является
точкой
экстремума
функции f и в этой
точке
существует
производная f‘ (x), то
она равна нулю:
f‘ (x)= 0

17. Признак максимума функции.

Если функция f
непрерывна
в
точке x0, а f‘(x)>0 на
интервале (a;x0) и
f‘(x)<0
на
интервале (x0;b), то
точка x0 является
точкой максимума
функции f
f
f
-
|
-2
+
|
0
-
|
2
+
x max
Упрощенное правило:
Если в точке x0 производная
меняет знак с плюса на
минус, то x0 есть точка
максимума .

18. Признак минимума функции.

Если функция f
непрерывна
в
точке x0, а f‘(x)<0 на
интервале (a;x0) и
f‘(x)>0
на
интервале (x0;b), то
точка x0 является
точкой минимума
функции f.
f
f
-
|
-2
xmin
+
|
0
-
|
2
+
xmin
Упрощенное правило:
Если в точке x0 производная
меняет знак с минуса на
плюс, то x0 есть точка
минимума .

19. Пример

Найдите
точки
экстремума функции
f
f(x)=3x-x3
D(y)=R
f
f‘ (x)=3-3x2
Критические точки
f‘
(x)= 0
x=±1
f‘ (x)- не
существует
Таких значений x
нет.
+
|
-1
xmin
Ответ:
|
1
-
x max
xmin 1
x max 1
x

20. График функции

y
xmin1
√3
0
1
x max
x