ТЕМА: ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ
ПОВТОРИМ : ВОЗРАСТАЮЩАЯ И УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
СВЯЗЬ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ
АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
ПРИЗНАК МАКСИМУМА ФУНКЦИИ
АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
2.06M
Category: mathematicsmathematics
Similar presentations:

Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

1. ТЕМА: ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ

2. ПОВТОРИМ : ВОЗРАСТАЮЩАЯ И УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИИ

Функция f(x) называется
Функция f(x) называется
убывающей на отрезке [a; b] если возрастающей на отрезке [a; b] если
для любых двух точек
для любых двух точек
x1 и x2 из этого отрезка верно
x1 и x2 из этого отрезка верно
утверждение:
x1 < x2 , f(x
утверждение:
< xвозрастает
1)> f(x2). функция
2 , f(x1)< f(x2).
Промежутки,
в которых
у = xf1(х)
Другими словами,
чем больше
Другими
словами, чем больше
или убывает
называются
промежутками
значение аргумента,
тем меньше функции
значение аргумента,
монотонности
у= f (x). тем больше
значение функции.
значение функции.

3. СВЯЗЬ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ

1.
Если в некотором промежутке f ’(x) >0 (производная
функции положительна), то функция возрастает на
этом промежутке.
2.
Если в некотором промежутке f ’(x) <0 (производная
функции отрицательна), то функция убывает на
этом промежутке.
Возрастание и убывание функции у = f(х)
характеризуется знаком её производной

4. АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

1
Найти область определения функции и интервалы,
на которых функция непрерывна.
2
Найти нули производной, т.е. точки в которых f '(x) = 0.
3
Определить знак производной f '(x) на каждом промежутке.
4
Определить промежутки монотонности.
4.1. Если f ’(x) > 0, то функция возрастает на данном
промежутке.
4.2. Если f ’(x) < 0, то функция убывает на данном
промежутке.

5.

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: На рисунке изображен график
Функция
возрастает
при х є (-8;-6)на; (-3;2)
производной
функции
f(x), непрерывной
отрезке [−10; 4].
убывает
при х єи[-10;-8)
; (-6;-3)
; (2;4]
Найдите Функция
промежутки
возрастания
убывания
функции
f(x).
1. Выделяем отрезок [−10; 4], на котором функция непрерывна.
2. Отмечаем нули производной, т.е.точки в которых f ’ (x) = 0
(точки пересечения с осью Х).
3. Определяем знак производной на каждом промежутке:
3.1. f ’(x) > 0 (график расположен выше оси Х)
3.2. f ’(x) < 0 (график расположен ниже оси Х)
4. Определить промежутки монотонности.
4.1. Если f ’(x) > 0, то функция возрастает на данном промежутке.
4.2. Если f ’(x) < 0, то функция убывает на данном промежутке.

6.

РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ЗАДАЧУ: На рисунке изображен график
производной функции f(x), непрерывной на отрезке [−4; 6].
Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x).
Функция у = f(х) убывает при х є [-4;-2) ; (2; 6]
Функция у = f(х) возрастает при х є (-2;2)

7.

ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
Точки минимума и максимума
функции называются точками
Точка x0 из области
Точкаа x0 из области
экстремума данной функции,
определения функциизначения
f(x)
функции f(x)
функции определения
в этих
называется точкой
называется точкой
точках экстремумами функции.
максимума
минимума
этой функции , если
этой функции , если
в некоторой окрестности
в некоторой окрестности
этой точки
этой точки выполняется
выполняется неравенство:
неравенство:
f(x0) > f(x).
f(x0) < f(x).

8.

Необходимое условие экстремума
(теорема Ферма): если точка х0 является точкой
Точками
экстремума
служить
экстремума
функции
f (х), имогут
в этой
точке существует
только критические
т.е.точки,
производная
f ’(x), то онаточки,
равна нулю:
f ’(x) =0 .
принадлежащие области определения
функции, вусловие
которыхэкстремума:
производная
Достаточное
обращается в нуль или не существует.
если в некоторой точке х0 производная функции f ( х)
обращается в нуль и, кроме того, проходя через нее слева
направо, меняет свой знак, то в этой точке функция
достигает экстремума:
-если производная меняет знак с «+» на «–», то х0– точка
максимума функции f (х ) ;
- если производная меняет знак с «–» на «+», то х0 – точка
минимума функции f (х ).

9. ПРИЗНАК МАКСИМУМА ФУНКЦИИ

(а;b)
(a; x0)
x0
(x0;b)
f ‘ (x)
+
0
-
f (x)
max
fmax(x) = f (x0)
Поведение функции при её исследовании с помощью производной
на экстремумы проиллюстрируем таблицами:
(а;b)
(a; x0)
x0
(x0;b)
f ‘ (x)
-
0
+
f (x)
min
fmin(x) = f (x0)
ПРИЗНАК МИНИМУМА ФУНКЦИИ

10. АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

1
Найти область определения функции и интервалы,
на которых функция непрерывна.
2
Найти критические точки, т.е. точки в которых f '(x) = 0
или не существует.
3
Определить знак производной f '(x) на каждом промежутке.
4
Определить точки экстремума.
4.1. Если f ’(x) в точке х0 меняет знак с «+» на «-»,
то х0 – точка максимума.
4.2. Если f ’(x) в точке х0 меняет знак с «-» на «+»,
то х0 – точка минимума.

11.

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: На рисунке изображен график
Ответ: X min = -3
производной функции f(x), определенной
на отрезке [−5; 5].
X max = 2,5
Найдите точку минимума и максимума функции f(x) на этом
отрезке .
max
min
1. Выделяем отрезок [−5; 5], на котором функция непрерывна.
2. Отмечаем нули производной, т.е.точки в которых f ’(x) = 0
(точки пересечения с осью Х).
3. Определяем знак производной на каждом промежутке:
3.1. f ’(x) > 0 (график расположен выше оси Х)
3.2. f ’(x) < 0 (график расположен ниже оси Х)
4. Определить точки экстремума.
4.1. Если f ’(x) в точке х0 меняет знак с «+» на «-», то х0 – точка max.
4.2. Если f ’(x) в точке х0 меняет знак с «-» на «+», то х0 – точка min.

12.

РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ЗАДАЧУ: На рисунке изображен график
производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4].
Найдите точки минимума и максимума функции f(x) на этом
отрезке .
min
max
min
max
Ответ: хmax = -5; хmax = 2
хmin = -3,5; хmin = 3,5

13. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1
2
3
На
рисунке
изображен
график
производной
функции f(x), непрерывной на отрезке [−11; 3].
Найдите промежутки возрастания
и убывания
функции f(x).

14. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

4
5
6
На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции f(x),
определенной на интервале (-9;8). Найдите точки экстремума
функции f(x), принадлежащие этому отрезку.
На рисунке изображен график y = f ′ (x) — производной функции f(x),
определенной на интервале (-8;16). Найдите количество точек экстремума
функции f(x), принадлежащих отрезку [-4;15].
На рисунке изображен график функции f(x), определенной
на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума
функции f(x).
English     Русский Rules