Similar presentations:
Экстремум функции
1.
Точка х0 называется точкой максимумафункции
f(x),
если
в
некоторой
окрестности точки х0 выполняется
неравенство
f ( x) f ( x0 )
2.
Точка х1 называется точкой минимумафункции
f(x),
если
в
некоторой
окрестности точки х1 выполняется
неравенство
f ( x) f ( x1 )
Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции.
Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции.
3.
yy f (x)
x1 x2
x3
x
4.
На одном промежутке функция может иметьнесколько экстремумов, причем может быть, что
минимум в одной точке больше максимума в
другой.
Максимум или минимум функции на некотором
промежутке не являются в общем случае
наибольшим и наименьшим значением функции.
Если в некоторой точке х0 дифференцируемая
функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой
окрестности этой точки выполняется теорема
Ферма и производная функции в этой точке
равна нулю:
f ( x0 ) 0
5.
Однако, функция может иметь экстремум в точке,в которой она не дифференцируема.
Например, функция
y x
имеет минимум в точке
x 0
но она в этой точке не дифференцируема.
6.
Для того, чтобы функция y=f(x) имелаэкстремум в точке х0 , необходимо, чтобы
ее производная в этой точке равнялась
нулю или не существовала.
7.
Точки, в которых выполняется необходимоеусловие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум,
то эта точка является критической.
Но критическая точка не обязательно является
точкой экстремума.
8.
Найти критические точки и экстремумыфункций:
1
y x
2
9.
Применим необходимое условие экстремума:y ( x ) 2 x
y 2 x 0 при x 0
2
x 0
y 0
- критическая точка
10.
yx 0
y x
2
x
11.
2y x 1
3
12.
Применим необходимое условие экстремума:y ( x 1) 3x
2
y 3x 0 при x 0
3
x 0
y 1
2
- критическая точка
13.
yy x
2
y 1
x
14.
Если при переходе через точку х0 производнаядифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак с плюса на минус, то х0 есть точка
максимума, а если с минуса на плюс, то х0
есть точка минимума.
15.
Пусть производная меняет знак с плюса на минус,т.е. на некотором интервале
a; x
0
f ( x) 0
а на некотором интервале
x ; b
0
f ( x) 0
Тогда функция y=f(x) будет возрастать на
a; x
0
16.
и будет убывать наx ; b
0
По определению возрастающей функции
f ( x0 ) f ( x) для всех
x a; x0
Для убывающей функции
f ( x0 ) f ( x) для всех
x0
x x0 ; b
-точка максимума.
Аналогично доказывается для минимума.
17.
1Найти производную функции
y f (x)
2
Найти критические точки функции, в
которых производная равна нулю или
не существует.
18.
3Исследовать знак производной слева и
справа от каждой критической
точки.
4
Найти экстремум функции.
19.
Исследовать функцию на экстремум:y x( x 1)
3
20.
Применим схемуэкстремум:
1
исследования
функции
на
Находим производную функции:
y ( x( x 1) ) ( x 1) 3x ( x 1)
3
3
2
( x 1) ( x 1 3x) ( x 1) (4 x 1)
2
2
21.
2Находим критические точки:
( x 1) (4 x 1) 0
2
x1 1
1
x2
4
22.
3Исследуем знак производной слева и
справа от каждой критической
точки:
y
y
1
4
1
В точке х=1 экстремума нет.
x
23.
4Находим экстремум функции:
27
1
f min
256
4
24.
Если первая производная дифференцируемойфункции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а
вторая производная в этой точке
положительна, то х0 есть точка
минимума, а если вторая производная
отрицательна, то х0 есть точка максимума.
25.
Пустьf ( x0 ) 0
f ( x0 ) 0
следовательно
f ( x) f ( x) 0
и в некоторой окрестности точки х0, т.е.
26.
функцияf (x)
будет возрастать на
a; b
содержащем точку х0.
Но
f ( x0 ) 0
на интервале
a; x
f ( x) 0
а на интервале
x ; b
f ( x) 0
0
0
27.
Таким образом, функцияf (x)
при переходе через точку х0 меняет знак с
минуса на плюс, следовательно эта точка
является точкой минимума.
Аналогично
доказывается
максимума функции.
случай
для
28.
Схема исследования функции на экстремум вэтом случае аналогична предыдущей, но
третий пункт следует заменить на:
3
Найти вторую производную и
определить ее знак в каждой
критической точке.
29.
Из второго достаточного условия следует, чтоесли в критической точке вторая производная
функции не равна нулю, то эта точка является
точкой экстремума.
Обратное утверждение не верно: если в
критической точке вторая производная
функции равна нулю, то эта точка также
может являться точкой экстремума.
В
этом случае для исследования функции
необходимо использовать первое достаточное
условие экстремума.