Действия над матрицами. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

1. Линейная алгебра

Действия над матрицами
Метод обратной матрицы решения систем
линейных уравнений

2. Действия над матрицами

Нахождение обратной матрицы
Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной
квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица,
которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу.
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом,
согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
1
A
A A
A det A 0 A
det A
T
1
Транспонированная матрица
Присоединенная матрица
получается из матрицы А Если определитель матрицы
получается путем замены каждого
путем замены строк т
равен нулю, то обратная
элемента матрицы А на его
соответствующими
матрица не существует
алгебраическое дополнение
столбцами

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. Действия над матрицами

0 3 1
0 3 1
0 3 1
2 1
4
(
1
)
2
2
1
0
det
A
2
4
1
A 2 4 1
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
0 2 2 Из второй -2 2 -1
T
A 3 4 строки
A 2 Разложим
2 вычтем
-2 2 определитель
по элементам
3 столбца
строку
1 1 первую
0
-4 6 -6
4 2
A 11 3 2
( 1)2 3 2
2 320 42 3 5
A 12 0
1 20 ( 1) 2
2 23
2 2 ( 4 1( 4) (
A 21 A
)14)2 1
A
2
0
1 0( 1)5 6
1
A
13
0
2
AA
(
1
)
4
1 320.5 3 2
12 101 (21 11) ( 11 ) 62 6 1
31 22
A
1 4331 2 03 4
1
1
A 2 2
2 1 1
2
2
3
3
4
6
6

12. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Метод обратной матрицы рассмотрим на примере
решения квадратной системы 3 порядка.
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a21x1 a22 x 2 a23 x 3 b2
a x a x a x b
33 3
3
31 1 32 2
Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим:
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
x1
X x2
x3
b1
B b2
b3
Основная матрица
Матрица - столбецМатрица - столбец
системы свободных членов
неизвестных

13. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Тогда систему можно записать так:
a11 a12
A X a21 a22
a
31 a32
a13 x1 a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a 23 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2
a x a x a x b
a33 x 3 31 1 32 2
3
33 3
A X B
Найдем решение системы в матричном виде.
Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно,
существует обратная матрица А-1.
Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу:
A 1 A X A 1 B
E X A 1 B X A 1 B
Метод обратной матрицы применим для решения квадратных
систем с невырожденной основной матрицей.

14. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Решить систему методом обратной матрицы.
3x 2 x 3 1
2x1 4x 2 x 3 2
2x 2x 3
2
1
X A 1 B
1 0.5
1
1
A 1 1
1
2
3
3
x1
0 3 1
A 2 4 1 X x 2
2 2 0
x3
1
B 2
3
1
B 2
3
-0,5
2
-5
0 .5
X 2
5

15.

ЗАДАНИЕ 1
ЗАДАНИЕ 2