Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

1. Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
Метод решения систем линейных уравнений
с помощью обратной матрицы

2. Система линейных уравнений

Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:
(1)
а11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
………………………………..
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Числа а11 , а12 , ... , а mn - это коэффициенты системы
Числа b1, b2 ,…, bm – свободные члены системы
Переменные х1, х2 ,…, хm - неизвестные, значения
которых надо найти

3.

Систему линейных уравнений 1
очень удобно
записывать в матричном виде
АХ = В
А=
а11 а12 ... a1n
a21 a22 … a2n
.....................
am1 am2 … amn
X=
(2)
X1
X2
….
Xn
B=
b1
b2
….
bm
А – основная матрица системы,
Х – матрица-столбец неизвестных,
В – матрица-столбец свободных членов.

4. Вывод основной формулы

1)
Предположим, что rang(A) = rang(A|B) = n, т.е.
система имеет решение, причем единственное.
основная матрица системы А – невырожденная, т.е.
главный определитель Δ ≠ 0 .
Для невырожденной матрицы А есть обратная А
2) Умножив уравнение 2 на А
определитель, которой Δ = 1:
А Х=В
-1
-1
и помня, что А А = Е
-1
Α
-1
A ⋅ A⋅ X = A ⋅ B
Е=1
-1
-1
-1
Χ=Α Β
(3)

5. Способ решения

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений
в матричном виде (2) с невырожденной квадратной
матрицей А.
-1
АХ=В
(2)
Х=А В
Отсюда получаем решение системы (3), где А
обратная матрица
А
1
-1
=
detА
A11 A21 A31 ….A n1
A12 A22 A32…. An2
…………………..
An1 An2 An3 …. Ann
(3)
-1
(4)
-

6. Рассмотрим пример 1

Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Х1 + Х2 = 3
Х1 – Х2 = 1
Решение.
1) Запишем систему в матричном виде
А=
1 1
1 -1
1 1
1 -1
Х1
Х2
Х=
Х1
Х2
=
3
1
В=
АХ=В
3
1
- матричный вид системы

7.

2) Получаем решение системы
-1
где А - обратная матрица
-1
А =
1
Δ
A11 A21
A12 A22
-1
Х=А В
где Δ - главный определитель системы,
Аij – алгебраические дополнения
3) Вычислим обратную матрицу
Δ=
-1
А =
1 1
1 -1
1
-2
= -1-1 = -2 ≠ 0
-1 -1
-1 1
1
=
2
А – невырожденная матрица
1
1
1
-1

8.

-1
3) Найдём решение системы
Х=А В
1
1
-1
Х=А В =
2
1 1
1 -1
Ответ: Х1 = 2 ; Х2 = 1
3
1
=
2
4
2
=
2
1

9. Рассмотрим пример 2

Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Решение.
1) Запишем систему в матричном виде
1 2 -1
А = 2 -1 1
1 1 2
Х=
Х1
Х2
Х3
В=
2) Составим матричное уравнение
АХ=В
4
1
5
1 2 -1
2 -1 1
1 1 2
Х=
4
1
5

10.

-1
3) Решим матричное уравнение Х = А В
-1
где А - обратная матрица
-1
А =
A11 A21 А31
1
A12 A22 А23
Δ А13 А23 А33
где Δ - главный определитель системы,
Аij – алгебраические дополнения
4) Найдём главный определитель основной матрицы А
Δ=
1 2 -1
2 -1 1
1 1 2
= -2 -2+2-1-1-8 = -12 ≠ 0
А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует

11.

5) Найдём алгебраические дополнения для основной
матрицы А
6) Вычислим обратную матрицу А
-1
А =
1
-12
-3 -5 1
-3 3 -3
3 1 -5
=
1
12
-1
3 5 -1
3 -3 3
-3 -1 5

12.

7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является
решением данной системы
-1
Х=А В =
1
3 5 -1
3 -3 3
-3 -1 5
12
=
1
12
12
24
12
=
1
2
1
=
Х1
Х2
Х3
Ответ: Х1 = 1 ; Х2 = 2 ; Х3 = 1
4
1
5
=
1
12
12+5-5
12-3+15
-12-1+25
=

13. Рассмотрим пример 3

Задание.
Найти решение системы
с помощью обратной матрицы.
Решение.
1) Запишем систему в матричном виде
1 -3
А = 1 -1
1 -2
4
7
1
Х=
Х1
Х2
Х3
В=
2) Составим матричное уравнение
АХ=В
6
7
2
1 -3
1 -1
1 -2
4
7
1
Х=
6
7
2

14.

3) Решим матричное уравнение Х = А В
-1
где А - обратная матрица
-1
А =
A11 A21 А31
1
A12 A22 А23
Δ А13 А23 А33
где Δ - главный определитель системы,
Аij – алгебраические дополнения
4) Найдём главный определитель основной матрицы А
Δ=
1 -3
1 -1
1 -2
4
7
1
= 1∙13 + 1∙(-5) + 1∙(-17) = -9 ≠ 0
А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует

15.

5) Найдём алгебраические дополнения для основной
матрицы А
6) Вычислим обратную матрицу А
-1
А =
1
-9
13 -5 -17
6 -3 -3
-1 -1 2
=
1
9
-1
-13
-6
1
5
3
1
17
3
-2

16.

7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является
решением данной системы
-1
Х=А В =
1
9
=
1
9
-9
-9
9
=
-13
-6
1
-1
-1
1
5
3
1
17
3 ∙
-2
=
Х1
Х2
Х3
Ответ: Х1 = -1 ; Х2 = -1 ; Х3 = 1
6
7
2
=
1
9
-78+35+34
-36+21+6
6+7-4
=

17. Итак, для этого метода нужно:

Найти и посчитать матрицу, обратную для
основной матрицы системы
(если она существует);
умножить полученную матрицу на матрицустолбец свободных членов
полученная в результате умножения тоже
матрица-столбец и есть решение системы.

18. Найти решение системы уравнений:

1. x 3 y 6 z 12
3x 2 y 5 z 10
2 x 5 y 3z 6
3x1 4 x2 11 2 x 4 y 3z 1
2.
5
x
6
x
28
2
3х y 5 z 2
3
x 2х 7 x 2 y 4z 3
3
1