Теория вероятностей и математическая статистика (Лекция 4.8)

1. Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей

2. Литература

Н.И.Чернова Теория вероятностей (2009)
А.А.Боровков Теория вероятностей
В.М.Буре Теория вероятностей и математическая
статистика
В.А.Колемаев Теория вероятностей и математическая
статистика
Н.Ш.Кремер Теория вероятностей и математическая
статистика
Б.А.Кордемский Математика изучает случайности
Ф.Мостеллер Пятьдесят занимательных вероятностных
задач
Г.Секей Парадоксы теории вероятностей

3. Системы случайных величин

Совместный закон распределения
Частные распределения
Условные распределения, кривые регрессии
Зависимость между случайными величинами
Метод наименьших квадратов

4. Системы случайных величин

Пара случайных величины ξ и η – система случайных
величин
Геометрически пара случайных величин ξ и η –
случайная точка M(x, y) на плоскости
Закон распределения системы случайных величин –
функция, которая ставит в соответствие любой паре
значений случайных величин ξ и η вероятность её
появления
P : [0, 1]
Ωξ и Ωη – множества значений случайных величин ξ и η

5. Матрица распределения

m
n
pij 1
i 1 j 1
n
m
j 1
i 1
P( xi ) pij , P( y j ) pij

6. Матрица распределения

Проверить, является ли следующая таблица
матрицей распределения:
Найти частные законы распределения.
Найти P(ξ < η).

7. Матрица распределения

Решение.
P(ξ < η) = 0,30 + 0,20 + 0,16 = 0,66.

8. Совместная функция распределения

Совместной функцией распределения системы
случайных величин (ξ, η) называется функция
F ( x, y) P ( x) ( y)
η
ξ

9. Совместная функция распределения

Пример 1. Случайная величина ξ равномерно
распределена на отрезке [0; 1], η = 1 – ξ. Составить
функцию распределения системы случайных величин
(ξ, η).
Пример 2. Система случайных величин (ξ, η) задана
функцией распределения
x 1 1
y
1 1
F ( x, y ) arctg arctg
3 2
2
2
Найти P ( 3) ( 0)

10. Совместная функция распределения

Свойства функции распределения
0 F ( x, y ) 1
F ( , y) 0,
F ( x, ) 0
F ( , y) F ( y), F ( x, ) F ( x)
F(x, y) – неубывающая по обоим аргументам.
P (a b) (c d ) F (b, d ) F (b, c) F (a, d ) F (a, c)

11. Совместная функция распределения

Пример. Система случайных величин (ξ, η) задана
функцией распределения
x 1 1
y
1 1
F ( x, y ) arctg arctg
3 2
2
2
Найти частные распределения компонент
Найти P (0 3) (0 2)

12. Совместная плотность распределения

Система случайных величин (ξ, η) непрерывна, если её
функция распределения F(x, y) – непрерывна,
дифференцируема по любому из аргументов и
существует смешанная частная производная второго
порядка, отличная от нуля.
Совместная плотность распределения системы
случайных величин (ξ, η) – плотность вероятности в
окрестности точки (x, y). Она равна
2 F ( x, y )
f ( x, y )
x y

13. Совместная плотность распределения

Система случайных величин (ξ, η) непрерывна, если её
функция распределения F(x, y) – непрерывна,
дифференцируема по любому из аргументов и
существует смешанная частная производная второго
порядка, отличная от нуля.
Совместная плотность распределения системы
случайных величин (ξ, η) – плотность вероятности в
окрестности точки (x, y). Она равна
2 F ( x, y )
f ( x, y )
x y

14. Совместная плотность распределения

Пример. Система двух случайных величин имеет
совместную функцию распределения
x 1 1
y
1 1
F ( x, y ) arctg arctg
3 2
2
2
Найти плотность распределения f(x, y) этой величины.

15. Совместная плотность распределения

Свойства плотности распределения
y x
F ( x, y) f ( x, y)dxdy
f ( x, y ) 0
f ( x, y )dxdy 1
P ( x, y ) D f ( x, y )dxdy
f x f ( x, y )dy, f x f ( x, y )dx
D

16. Совместная плотность распределения

Пример 1. Система двух случайных величин (ξ, η)
равномерно распределена в квадрате [ a, a] [ a, a]. Найти
вероятность того, что случайная точка окажется внутри
круга радиуса a с центром в начале координат.
Пример 2. Система двух случайных величин (ξ, η)
равномерно распределена в круге радиуса R с центром в
начале координат.
Найти частные распределения величин ξ и η.
Пример 3. Система двух случайных величин имеет
совместную плотность распределения
6
f ( x, y) 2 2
2
x
9
y
4
Найти P(|ξ| < η).
Найти частные распределения величин ξ и η.

17. Функции двух случайных величин

Пусть имеется система случайных величин (ξ1, ξ2) с
совместной плотностью распределения f(x, y) и
функция φ(x, y), определенная на множестве Ω1 × Ω2
Рассмотрим случайную величину η = φ(ξ1, ξ2)
F y f x1 , x2 dx1dx2
D
Пример1. Система случайных величин (ξ1, ξ2)
равномерно распределена в единичном круге. Найти
2
2
распределение случайной величины 1 2
Пример2. Система случайных величин (ξ1, ξ2) имеет
совместную плотность распределения f(x, y). Найти
распределение законы распределения случайных
величин а) η = ξ1 + ξ2, б) η = ξ1 · ξ2

18. Функции двух случайных величин

Система случайных величин (ξ1, ξ2) с совместной
плотностью распределения f(x, y) непрерывна,
случайная величина η = φ(ξ1, ξ2), тогда
M x , x f x , x dx dx
1
2
1
2
1
2
D x1 , x2 M f x1 , x2 dx1dx2
2
Пример2. Система случайных величин (ξ1, ξ2) имеет
совместную плотность распределения f(x, y). Найти
математические ожидания и дисперсии случайных
величин а) η = ξ1 + ξ2, б) η = ξ1 · ξ2

19. Независимость случайных величин

Определение 1. Случайные величины ξ и η
независимы, если a, b, c, d события (a ξ < b) и
(c η < d) независимы
Определение 2. Случайные величины ξ и η
независимы, если F(x,y) = Fξ(x) · Fη(y)
Утверждение. Определения 1 и 2 эквивалентны. б/д
Для непрерывных случайных величин
f(x,y) = fξ(x) · fη(y), а для дискретных – pij = piξ · pjη

20. Независимость случайных величин

Пример2. Система дискретных случайных величин
задана своей матрицей распределения
Проверить, зависимы ли случайные величины ξ и η.
Пример2. Система двух случайных величин имеет
совместную плотность распределения
6
f ( x, y) 2 2
x 9 y 2 4
Проверить, зависимы ли случайные величины ξ и η

21. Ковариация

Ковариация – мера линейной зависимости двух
случайных величин.
cov(ξ, η) = M[(ξ – Mξ)·(η – Mη)]
Свойства ковариации:
cov(ξ, η) = cov(η, ξ)
если случайные величины ξ и η независимы, то
cov(ξ, η) = 0, обратное неверно
|cov(ξ, η)| ≤ σξ·ση
cov(ξ, η) = M[ξ · η] – Mξ · Mη

22. Коэффициент корреляции

cov ,
r
Свойства коэффициента корреляции:
|rξη| ≤ 1
|rξη| ≤ 1 a ≠ 0, b: η = aξ + b
если случайные величины ξ и η независимы, то
rξη = 0, обратное неверно
Пример. Система случайных величин равномерно
распределена в единичном круге. Доказать, что
величины зависимы, но некоррелированы.

23. Ковариация и коэффициент корреляции

Пример1. Система дискретных случайных величин
задана своей матрицей распределения
Найти ковариацию и коэффициент корреляции
случайных величин ξ и η.

24. Ковариация и коэффициент корреляции

Пример2. Система двух случайных величин внутри
прямоугольника [0, π/2] [0, π/2] имеет совместную
плотность распределения
f ( x, y ) C sin( x y )
Найти ковариацию и коэффициент корреляции
случайных величин ξ и η.
Проверить, зависимы ли случайные величины ξ и η

25. Корреляционная матрица

В случае системы из n случайных величин вводится
корреляционная матрица
r11 r12
r21 r22
K
... ...
rn1 rn 2
...
...
...
...
r1n
r2 n
...
rnn

26. Условные законы распределения

Условный ряд распределения величины ξ – ряд
распределения случайной величины ξ, при условии,
что случайная величина η приняла заданное значение
P xi y j
pij
P xi | y j
m
P y j
p
i 1
ij

27. Условные законы распределения

Пример. Система дискретных случайных величин
задана своей матрицей распределения
Построить ряд распределения величины η при
условии, что величина ξ приняла значение 1.

28. Условные законы распределения

Условной функцией распределения случайной
величины ξ при условии, что случайная величина η
приняла значение y0, называется функция
F x | y0 lim
F x | y0 y0 y
y 0
x
f t , y dt
F x | y
f y
f x, y
f x , y
f x | y
f y | x
f y
f x
0
0
0
0
0
0
0
0
0

29. Условные законы распределения

Условное математическое ожидание величины ξ –
функция параметра y0. Оно показывает зависимость
среднего значения величины ξ от значения случайной
величины η – регрессию ξ на η.
График этой функции – кривая регрессии.

30. Условные законы распределения

Пример. Система двух случайных величин внутри
прямоугольника [0, π/2] [0, π/2] имеет совместную
плотность распределения
f ( x, y ) C sin( x y )
Найти распределение компоненты ξ при условии, что
η = π/4.
Построить кривую регрессии ξ на η.

31. Двумерное нормальное распределение

f x, y
1
2 1 2
2
1 x a1 2
x a1 y a2 y a2
exp
2
2
2
2
2
1 2
2
1 r
2 1 r 1
Утверждение 1. ξ ~ N(a1, σ12), η ~ N(a2, σ22).
Утверждение 2. rξη = r.
Утверждение 3. Если пара некоррелированных
случайных величин имеет двумерное нормальное
распределение, то они независимы
Утверждение 4. Если пара случайных величин имеет
двумерное нормальное распределение, то имеет место
линейная корреляционная зависимость (кривые
регрессии являются прямыми).