Теория вероятностей и математическая статистика (Лекция 4.7)

1. Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей

2. Литература

Н.И.Чернова Теория вероятностей (2009)
А.А.Боровков Теория вероятностей
В.М.Буре Теория вероятностей и математическая
статистика
В.А.Колемаев Теория вероятностей и математическая
статистика
Н.Ш.Кремер Теория вероятностей и математическая
статистика
Б.А.Кордемский Математика изучает случайности
Ф.Мостеллер Пятьдесят занимательных вероятностных
задач
Г.Секей Парадоксы теории вероятностей

3. Системы случайных величин

Совместный закон распределения
Частные распределения
Условные распределения, кривые регрессии
Зависимость между случайными величинами
Метод наименьших квадратов

4. Системы случайных величин

Пара случайных величины ξ и η – система случайных
величин
Геометрически пара случайных величин ξ и η –
случайная точка M(x, y) на плоскости
Закон распределения системы случайных величин –
функция, которая ставит в соответствие любой паре
значений случайных величин ξ и η вероятность её
появления
P : [0, 1]
Ωξ и Ωη – множества значений случайных величин ξ и η

5. Матрица распределения

m
n
pij 1
i 1 j 1
n
m
j 1
i 1
P( xi ) pij , P( y j ) pij

6. Матрица распределения

Проверить, является ли следующая таблица
матрицей распределения:
Найти частные законы распределения.
Найти P(ξ < η).

7. Матрица распределения

Решение.
P(ξ < η) = 0,30 + 0,20 + 0,16 = 0,66.

8. Совместная функция распределения

Совместной функцией распределения системы
случайных величин (ξ, η) называется функция
F ( x, y) P ( x) ( y)
η
ξ

9. Совместная функция распределения

Пример 1. Случайная величина ξ равномерно
распределена на отрезке [0; 1], η = 1 – ξ. Составить
функцию распределения системы случайных величин
(ξ, η).
Пример 2. Система случайных величин (ξ, η) задана
функцией распределения
x 1 1
y
1 1
F ( x, y ) arctg arctg
3 2
2
2
Найти P ( 3) ( 0)

10. Совместная функция распределения

Свойства функции распределения
0 F ( x, y ) 1
F ( , y) 0,
F ( x, ) 0
F ( , y) F ( y), F ( x, ) F ( x)
F(x, y) – неубывающая по обоим аргументам.
P (a b) (c d ) F (b, d ) F (b, c) F (a, d ) F (a, c)

11. Совместная функция распределения

Пример. Система случайных величин (ξ, η) задана
функцией распределения
x 1 1
y
1 1
F ( x, y ) arctg arctg
3 2
2
2
Найти частные распределения компонент
Найти P (0 3) (0 2)

12. Совместная плотность распределения

Система случайных величин (ξ, η) непрерывна, если её
функция распределения F(x, y) – непрерывна,
дифференцируема по любому из аргументов и
существует смешанная частная производная второго
порядка, отличная от нуля.
Совместная плотность распределения системы
случайных величин (ξ, η) – плотность вероятности в
окрестности точки (x, y). Она равна
2 F ( x, y )
f ( x, y )
x y

13. Совместная плотность распределения

Система случайных величин (ξ, η) непрерывна, если её
функция распределения F(x, y) – непрерывна,
дифференцируема по любому из аргументов и
существует смешанная частная производная второго
порядка, отличная от нуля.
Совместная плотность распределения системы
случайных величин (ξ, η) – плотность вероятности в
окрестности точки (x, y). Она равна
2 F ( x, y )
f ( x, y )
x y

14. Совместная плотность распределения

Пример. Система двух случайных величин имеет
совместную функцию распределения
x 1 1
y
1 1
F ( x, y ) arctg arctg
3 2
2
2
Найти плотность распределения f(x, y) этой величины.

15. Совместная плотность распределения

Свойства плотности распределения
y x
F ( x, y) f ( x, y)dxdy
f ( x, y ) 0
f ( x, y )dxdy 1
P ( x, y ) D f ( x, y )dxdy
f x f ( x, y )dy, f x f ( x, y )dx
D

16. Совместная плотность распределения

Пример 1. Система двух случайных величин (ξ, η)
равномерно распределена в квадрате [ a, a] [ a, a]. Найти
вероятность того, что случайная точка окажется внутри
круга радиуса a с центром в начале координат.
Пример 2. Система двух случайных величин (ξ, η)
равномерно распределена в круге радиуса R с центром в
начале координат.
Найти частные распределения величин ξ и η.
Пример 3. Система двух случайных величин имеет
совместную плотность распределения
6
f ( x, y) 2 2
2
x
9
y
4
Найти P(|ξ| < η).
Найти частные распределения величин ξ и η.

17. Функции двух случайных величин

Пусть имеется система случайных величин (ξ1, ξ2) с
совместной плотностью распределения f(x, y) и
функция φ(x, y), определенная на множестве Ω1 × Ω2
Рассмотрим случайную величину η = φ(ξ1, ξ2)
F y f x1 , x2 dx1dx2
D
Пример1. Система случайных величин (ξ1, ξ2)
равномерно распределена в единичном круге. Найти
2
2
распределение случайной величины 1 2
Пример2. Система случайных величин (ξ1, ξ2) имеет
совместную плотность распределения f(x, y). Найти
распределение законы распределения случайных
величин а) η = ξ1 + ξ2, б) η = ξ1 · ξ2

18. Функции двух случайных величин

Система случайных величин (ξ1, ξ2) с совместной
плотностью распределения f(x, y) непрерывна,
случайная величина η = φ(ξ1, ξ2), тогда
M x , x f x , x dx dx
1
2
1
2
1
2
D x1 , x2 M f x1 , x2 dx1dx2
2
Пример2. Система случайных величин (ξ1, ξ2) имеет
совместную плотность распределения f(x, y). Найти
математические ожидания и дисперсии случайных
величин а) η = ξ1 + ξ2, б) η = ξ1 · ξ2

19. Независимость случайных величин

Определение 1. Случайные величины ξ и η
независимы, если a, b, c, d события (a ξ < b) и
(c η < d) независимы
Определение 2. Случайные величины ξ и η
независимы, если F(x,y) = Fξ(x) · Fη(y)
Утверждение. Определения 1 и 2 эквивалентны. б/д
Для непрерывных случайных величин
f(x,y) = fξ(x) · fη(y), а для дискретных – pij = piξ · pjη

20. Независимость случайных величин

Пример2. Система дискретных случайных величин
задана своей матрицей распределения
Проверить, зависимы ли случайные величины ξ и η.
Пример2. Система двух случайных величин имеет
совместную плотность распределения
6
f ( x, y) 2 2
x 9 y 2 4
Проверить, зависимы ли случайные величины ξ и η

21. Двумерное нормальное распределение

f x, y
1
2 1 2
2
1 x a1 2
x a1 y a2 y a2
exp
2
2
2
2
2
1 2
2
1 r
2 1 r 1
Утверждение 1. ξ ~ N(a1, σ12), η ~ N(a2, σ22).
Утверждение 2. rξη = r.
Утверждение 3. Если пара некоррелированных
случайных величин имеет двумерное нормальное
распределение, то они независимы
Утверждение 4. Если пара случайных величин имеет
двумерное нормальное распределение, то имеет место
линейная корреляционная зависимость (кривые
регрессии являются прямыми).

22. Пример

Требуется сложить 10000 чисел, каждое из которых
округлено до 10-5. Предположим, что ошибки,
возникающие при округлении чисел, независимы и
равномерно распределены в интервале
(-0.5· 10-5; 0.5· 10-5). Найти границы, в которых с
вероятностью 0,99 будет лежать суммарная ошибка.