Неопределенный интеграл Понятие первообразной. Свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы. Лекция 16

1. Лекция 16 Неопределенный интеграл Понятие первообразной. Свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы. Методы

нахождения неопределенных
интегралов

2. Понятие первообразной

Функция F(x) называемая первообразной для функции f(x) на заданном
промежутке I, если для всех Х из этого промежутка F ( x) f (.x)
Нахождение функции f(x) по данной ее производной
операцией интегрирования.
называют
Таким образом, операция интегрирования обратна операции
дифференцирования. Операция интегрирования состоит в том, что
по заданной производной
находят (восстанавливают) функцию
f(x)

3. Основное свойство первообразной функции

Если F(x) одна из первообразных для функции f(x) на промежутке
I, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:
F(x)+C , где C – любое действительное число

4.

Неопределенный интеграл
Множество всех первообразных функции f(x) на
некотором промежутке называют неопределенным
интегралом от функции f(x) на этом промежутке,
обозначают символом f ( x)dx
и пишут f ( x)dx F ( x) C . При этом знак
называется знаком интеграла, f ( x) - подынтегральной
функцией, f ( x)dx - подынтегральным выражением,
x - переменной интегрирования, C - постоянной
интегрирования

5. Cвойства неопределенного интеграла:

f ( x)dx f ( x)
2. d f ( x)dx f ( x)dx
1.
3.
F ( x)dx F ( x) C
4.
dF ( x) F ( x) C
5. Af x dx A f x dx
6. (k1 f1 ( x) k2 f 2 ( x))dx k1 f1 ( x)dx k2 f 2 ( x)dx
где k1 и k - постоянные (числовые коэффициенты)- свойство
2
линейности неопределенного интеграла.

6. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование разложением

3
х
2sin
х
2
dx
х
1
2x
3
х
x
х 2sin х 2 dx 3 xdx 2 sin xdx 2 dx 3ln x 2 cos x ln 2 C
Ответ:
2x
3ln x 2 cos x
C
ln 2
х3 5 х 3
х dx
х3 5 x 3
х3 5 х 3
1
dx
2
2
dx
dx
x
5
3
dx
x
dx
5
dx
3
х
х x x
x
x
x 2 1
x3
5 x 3ln x C 5 x 3ln x C
2 1
3
3
x
Ответ:
5 x 3ln x C
3

7. Метод замены переменной (подстановки)

5 3x dx
3
dx
x 2
5 3x t
5 3x dx t dt
0 3 dx dt
d х 2
dx
x 2 х 2 ln x 2 C
Ответ: ln (x+2) + C
5 3x dx
3
3
1
1
3
1
3
3dx dt
dt
dx
3
4
dt 1
1 t
1 t3
t3 t
t t dt
C
C
C
1
4
3 3
3 1
3
4
3
3
5 3x 3 5 3x
t3 t
C
C
4
4
Отве
т:
5 3x 3 5 3x
4
C

8. Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — один из способов нахождения интеграла.
Если подынтегральная функция может быть представлена в виде
произведения двух непрерывных и непрерывно дифференцируемых
функций, то

9.

10.

Задание для
самостоятельной работы
студентов
Решить задания
№ 8.1 (а, б, в), № 8.2, №8.4, стр 281;
№8.15, №8.29, стр. 283;
№8.37, №8.40 стр. 284
учебника И.Д.Пехлецкого. Математика