Представление случайного эксперимента в виде дерева

1. Представление случайного эксперимента в виде дерева

2.

Рассмотрим ещё один инструмент для
решения задач на нахождение вероятности
— дерево случайного опыта. Наряду с
диаграммами Эйлера дерево позволяет
наглядно представить условия данного
опыта.
Дерево — разновидность графа. Дерево —
это связный граф без циклов.

3.

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени и с вероятностью 0,8 может
попасть в мишень. Найди вероятность того, что стрелок попал при
первом выстреле, а при втором промахнулся.
Изобразим исходную точку (когда ещё не было ни одного выстрела) S, а
попадание
или
не
попадание
в
цель
обозначим
точками P и H соответственно. Соединим точку S стрелками с точками P и H.
Стрелки — это рёбра графа, а точки — вершины дерева. Можно вместо
стрелок изображать просто отрезки, так как направление движения для
дерева всегда будет одинаковым, сверху вниз.
Концевые точки дерева — это элементарные события эксперимента.

4.

Пример 1 (продолжение)
Рядом с рёбрами напишем вероятности событий. По условию, вероятность
попадания равна 0,8. Возможны только два исхода, значит, вероятность
противоположного события (промаха) равна: 1−0,8=0,2.
Важно проверять, чтоб сумма вероятностей около всех рёбер, выходящих из
одной вершины, была равна 1.

5.

Пример 1 (продолжение)
Достроим дерево при условии двух выстрелов.
Найти вероятность события можно с помощью
правила умножения вероятностей.
Чтобы найти вероятность события с помощью
дерева случайного опыта, нужно найти
произведение вероятностей вдоль цепочки,
идущей от начальной вершины к вершине,
изображающей нужное элементарное событие.
Найдём вероятность, что стрелок попал при
первом выстреле, а при втором промахнулся.
0,8⋅0,2 = 0,16.

6.

А если нам нужно узнать вероятность
события «стрелок один раз попал и один
раз промахнулся при двух выстрелах»? В
этом случае нам подойдут две цепочки:
попал первый раз, второй раз промахнулся
и промахнулся первый раз, второй раз
попал.
Тут
действует
правило
сложения
вероятностей.
Чтобы найти вероятность события с
помощью дерева случайного опыта, нужно
сложить вероятности всех цепочек, ведущих
к этому событию от начальной вершины.
Найдём эту вероятность.
0,8⋅0,2+0,2⋅0,8 = 0,32.

7. Найди ошибку!

8. Задание 1

5

9. Задание 2

На рисунке изобразили дерево некоторого случайного опыта. Допишите
недостающие вероятности.

10. Задание 3

Симметричную монету бросают
дважды. Построй дерево этого
случайного эксперимента. И найди
с его помощью вероятность того,
что первый раз выпала решка, а
второй раз — орёл.

11. Задание 4

В компьютерной игре Миша бросает
волшебную фишку дважды. Каждый
бросок может принести бонусы к силе с
вероятностью 0,4, к ловкости — с
вероятностью 0,2, к магии — с
вероятностью 0,4. Построй дерево этого
случайного
эксперимента.
Найди
вероятность того, что в первом броске
выпал бонус к силе, во втором — к
магии.
Ответ: 0,16

12.

Задание 5
Борис увлекается программированием и смог создать свою первую
компьютерную игру. Она заключается в том, что игрок подбрасывает
виртуальный кубик с разноцветными гранями. При выпадении красной
грани ему начисляется 3 балла, при выпадении жёлтой — 2 балла, зелёной
— 1 балл, выпадение остальных цветов не приносит дополнительных
баллов. Цель игры — за возможно меньшее количество ходов
набрать максимальное количество баллов. Построй дерево случайного
опыта (цвета, которые не влияют на количество баллов, можно не
учитывать при построении).
Найди вероятность события «при первом броске выпал красный цвет, при
втором — жёлтый, при третьем — зелёный», если вероятность выпадения
красного цвета — 0,16, жёлтого — 0,3, зелёного — 0,44.
(Ответ округли до тысячных.)
Ответ: 0,021

13. Задание 6

На заводе по производству деталей для
посудомоечных машин 5 % произведённых
деталей имеют дефект. Система контроля
качества выявляет 89 % деталей с дефектом.
Построй
дерево
этого
случайного
эксперимента. Найди вероятность того, что
очередная произведённая деталь попадёт в
продажу. (Ответ округли до сотых.)
Ответ: 0,96

14. Задание 7

Две фирмы выпускают чехлы для
телефонов.
Первая
фирма
выпускает 74 % этих чехлов, вторая —
26 %. Причём у первой фирмы 3 % чехлов
оказывается бракованными, а у второй —
2 %. Найди вероятность того, что
купленный в магазине чехол окажется
бракованным.
Ответ:0,0274

15. Задание 8

Тимур занимается стрельбой из лука. У
него есть 7 стрел. Если он попадает в
мишень, то больше не стреляет, а если
промахивается, то продолжает стрелять,
пока есть стрелы. Построй дерево этого
случайного опыта. Найди вероятность
события
«для
поражения
мишени
потребовалось не более 3 стрел», если он
попадает в мишень с вероятностью 0,3 при
каждом выстреле.
Ответ:0,657

16. Домашнее задание:

1. В приюте 10 кошек и 11 собак. Волонтёры случайным образом
выбирают двух животных. Найди вероятность события, что «будут
выбраны две собаки».
2. В турнире по футболу команда победителей бонусом получила
подарочные сертификаты: 10 — в спортивный магазин и 15 — в
туристический магазин. Чтобы распределить сертификаты между
членами команды, капитан сложил их в коробку и будет по очереди
случайным образом их доставать и отдавать члену команды. Построй
дерево этого случайного опыта. Найди вероятность события «капитан
первым достал сертификат в спортивный магазин, вторым — в
туристический». (Ответ округли до сотых.).
3. Цирковая труппа состоит из 17 девушек и 15 парней. Для нового номера
случайным образом выбирают двух человек. Найди вероятность
события, что «будут выбраны две девушки». (Ответ округли до