Среднеквадратичное приближение функций (Лекция №12)

1. Среднеквадратичное приближение

▪ Интерполяция позволяет легко аппроксимировать функцию y(x).
Однако точность такой аппроксимации гарантирована лишь в
небольшом интервале порядка нескольких шагов сетки таблицы.
Для другого интервала приходится заново вычислять
коэффициенты интерполяционной формулы.
▪ Часто желательно иметь единую формулу f(x), пригодную для
большого отрезка a ≤ x ≤ b .
▪ При интерполяции приравниваются значения y(x) и f(x) в узлах.
Но если y(xi) определены не точно, например, значения взяты из
эксперимента, то точное приравнивание не разумно.
Поэтому нередко целесообразней приближать функцию не по
точкам, а в среднем, т.е. в норме Lp .
▪ Пусть заданы функция y(x) (по точкам) и множество функций
f(x), принадлежащих к линейному нормированному пространству
функций (классу функций).

2. Среднеквадратичное приближение

▪ Может быть две задачи:
Среднеквадратичное приближение
1. Аппроксимация с заданной точностью: по заданному ε найти
такую f(x), чтобы выполнялось неравенство
|| y(x) - f(x) || ≤ ε .
2. Нахождение наилучшего приближения.
Теория говорит, что при линейной аппроксимации наилучшее
приближение существует, но не всегда оно единственно.
▪ Пусть мы имеем таблицу значений yi(xi), i= 1,2,…,n.
▪ Возникает практически важная задача – найти эмпирическую
̃ , значения которой в точках xi возможно мало
формулу ỹ = f(x)
отличаются от заданных yi (опытных).
▪ В такой постановке данная задача весьма неопределённа.
Следует ещё указать достаточно узкий класс функций, которому
̃ например,
должна принадлежать искомая функция f(x),
множество функций линейных, степенных, показательных и т.д.

3. Среднеквадратичное приближение

▪ В этом случае задача сводится к нахождению наилучших
значений параметров этих функций.
▪ Класс функций подбирают используя требования простоты
эмпирической формулы, а так же физичности (подсказывается
природой явления, которое описывается формулой).
▪ Геометрический смысл всего этого состоит в проведении кривой
вида Γ «возможно ближе» к системе точек Mi(xi,yi), i= 1,2,…,n.
y
∙
∙
∙
∙
∙
Γ
∙
x
▪ Разумеется, при этом должен быть выяснен математический
смысл понятия «близости».

4. Среднеквадратичное приближение

▪ Построение эмпирической формулы состоит
из 2-х этапов:
1) выяснения общего вида этой функций;
2) определение наилучших её параметров.
1. Обычно предполагается, что на данном интервале зависимость
не имеет разрывов – она плавная.
Часто тип формулы выбирается на основе теоретических
представлений о характере изучаемой зависимости.
Часто, это делают сравнивая … с образцами известных кривых
(или их семействами).
Эмпирические формулы не претендуют на роль законов природы, а
являются лишь гипотезами функционального описания
опытных данных. Однако значение их весьма велико. В науке
есть много примеров, когда удачная аппроксимация приводила
к большим научным открытиям.
▪Удачный подбор эмпирической формулы в значительной мере
зависит от опыта и искусства разработчика.

5. Среднеквадратичное приближение

2. Если вид эмпирической формулы выбран, то
возникает задача определения наилучших
коэффициентов (параметров), входящих в эту
̃ a1, a2, … , am) ,
формулу f(x,
неизвестные постоянные – m – штук.
Обычно
m<n
На практике значения (xi,yi) содержат
измерительные ошибки. Поэтому система
̃ i, a1, a2, …, am) , i=1…n, как
уравнений yi = f(x
правило, не совместна (кривая не проходит
строго по точкам).

6. Среднеквадратичное приближение

Приходится отыскивать такие значения a1, a2, …,
am , которые приближенно удовлетворяют
системе уравнений, такие, что невязки
(уклонения)
̃ i, a1, a2, …, am) = εi
yi - f(x
(**)
являются возможно малыми.
Геометрический смысл этого – кривая должна
наиболее тесно примыкать к системе точек
Mi(xi,yi), i= 1,2,…,n.

7. Среднеквадратичное приближение

Наиболее применимыми являются эмпирические
формулы, линейно зависящие от параметров,
т.е. вида
̃ = φ0(x)+ a1 φ1(x)+ a2φ2(x) +… + amφm(x) ***)
f(x)
В этом случае система уравнений линейная и
сравнительно просто исследуется.
При нелинейной зависимости от параметров ai
система также не линейна труднее решать и
исследовать.

8. Среднеквадратичное приближение

▪ Методы определения параметровСреднеквадратичное
приближение
1. Метод выбранных точек
Содержит геометрические построения,
допускается известный произвол – метод
грубый, но простой и наглядный.
Строится линия (обычно, простая – прямая,
парабола или что-либо подобное), выбираются
точки на ней и по значениям координат этих
точек определяются значения параметров
функции для линии.

9. Среднеквадратичное приближение

2. Метод средних
Среднеквадратичное
приближение
За наилучшее положение эмпирической кривой
принимается такое, для которого
алгебраическая сумма всех уклонений εi равна
n
нулю
i 1
i
0
Поскольку m<n , то все уклонения εi разбиваются
на m групп.
Сумма уклонений в группе также = 0.
Далее, составляется система уравнений ai .

10. Среднеквадратичное приближение

Пример
Среднеквадратичное
приближение
t
7
12
17
22
27
32
37
Q
83,7 72,9 63,2 54,7 47,5 41,4 36,3
Будем искать эмпирическую зависимость в виде Q̃ (t)=at2+bt+c .
Подставим табличные данные в формулу, получим:
ε1 = 72 a + 7 b + c – 83,7 = 49 a + 7 b + c – 83,7
ε2 = …………………....= 144 a+12 b + c -72,9
выражения для
…………………………………………………
уклонений
ε7 = …………………….=1369a+37b +c -36,3
(невязок)
Неизвестных m = 3: a,b,c все невязки разбиваем на 3 группы и
составляем систему ε1 + ε2 + ε3 = 0
ε4 + ε5 = 0
ε6 + ε7 = 0

11. Среднеквадратичное приближение

Суммируя получим:
482 a + 36 b + 3 c = 219,8
1213 a + 49 b + 2 c = 102,2
2393 a + 69 b + 2 c = 77,7
Решая систему относительно a, b, c получаем
аппроксимирующую формулу в виде
Q̃(t)=0,235 t2 – 2,6115 t +100,8295
Определив Q̃(ti), получим реальные невязки в точках
таблицы ti :
0,00; 0,02; -0,03; -0,05; 0,05; 0,07; 0,08
min
max

12. 3. Метод наименьших квадратов

• Наилучшими коэффициентами a1, a2, …, am считаются
те, для которых сумма квадратов уклонений будет
минимальной:
n
S (a1 , a2 ,..., am ) [ f ( xi , a1 , a2 ,..., am ) yi ] min
2
i 1
• Используем необходимые условия экстремума функции
нескольких переменных:
S
S
S
0,
0,...,
0
a1
a2
am
Получим нормальную систему для определения
коэффициентов ai .

13. 3. Метод наименьших квадратов

• Если эмпирическая функция линейна относительно
параметров (***), то будем иметь:
n
S (a1 , a2 ,..., am ) [a1 1 ( xi ) ... am m ( xi ) Yi ]
i 1
• Где
Yi =yi – φ0(xi)
• Берем частные производные и приравниваем их к нулю:
1-я
n
….
m-я
1 S
1 ( xi )[a1 1 ( xi ) ... am m ( xi ) Yi ] 0
2 a1 i 1
n
1 S
m ( xi )[a1 1 ( xi ) ... am m ( xi ) Yi ] 0
2 am i 1
2

14. 3. Метод наименьших квадратов

• Обозначив :
n
( j , k ) j ( xi ) k ( xi );
3. Метод наименьших квадратов
i 1
n
( j , Y ) j ( xi )Yi ;
i 1
Получим в виде нормальной системы
a1(φ1,φ1) + a2(φ1,φ2) +…+ am(φ1,φm) = a1(φ1,Y)
………………………………………………..
a1(φm,φ1) + a2(φm,φ2) +…+ am(φm,φm) = a1(φm,Y)
В частном случае, если эмпирическая формула имеет вид линейного
̃ = a0 + a1x +a2x2+…+amxm ,
полинома f(x)
то φj(x)=xj , j=0,…m,
(φj,φk) =[xj+k] , (φj,Y) = [xjy]
и нормальная система примет вид:

15. 3. Метод наименьших квадратов

a0n + a1 [x] +a2 [x2 ]+…+am [xm ] = [y]
a0 [x] + a1 [x2] +a2 [x3 ]+…+am [xm+1 ] = [xy]
…………………………………………….
a0 [xm] + a1 [xm+1] +a2 [xm+2 ]+…+am [xm+m ] = [xmy]
Преимущество М.Н.К. – если сумма квадратов
уклонений S мала, то сами эти уклонения также
малы по абсолютной величине.
В методе средних – этого сказать нельзя.

16. 3. Метод наименьших квадратов

• Выбор степени полинома m зависит от числа узлов n,
их расположения и выбранной системы φj функций.
• Оптимальное число m определяется опытным путем
учитывая, что 1 ≤ m ≤ n и, что математическая
погрешность аппроксимации должна быть меньше
физической погрешности θ.
• Если среднеквадратичное уклонение δm >> θ , то число
m следует увеличить.
• Если δm << θ , то старшие коэффициенты
аппроксимации физически не достоверны и надо m
уменьшить (задача считается плохо обусловленной).
• При δm ~~ θ и m =2÷5 обычно обусловленность
удовлетворительна.

17. 3. Метод наименьших квадратов

• Если точки измерены с различными погрешностями θi ,
то используют веса: обычно ρi =θi-2 и задача решается по
схеме
φk(x) = xk , 0 ≤ k ≤ m
• Система: m
• где
[ x , x ]a [ x , y],0 j m ,
j
k
j
k
k 0
n
[ x , x ] i xi ,
j
k
j k
i 1
n
[ x , y ] i yi xi
j
i 1
j

18. 3. Метод наименьших квадратов

• Часто выбирают функции не линейные по своей природе,
например, степенная зависимость
f(x) = c xa ,
• c, a – постоянные, которые необходимо определить,
f(x) > 0, x > 0.
• Логорифмируя её, получим:
ln f(x) = a ln(x) + ln(c),
• Полагаем
Y = ln f(x) , X = ln(x) ,
b = ln(c),
• запишем
Y = a X + b , т.е. привели её к линейной форме.
• Данные таблицы приводим также к этому виду:
Yi = ln( yi ),
Xi = ln(xi) .
• Задача решается относительно a и b, затем определяется c = eb .
• Классы функций, позволяющие производить линеаризацию
приведены в описании к лаб.раб.05.

19. 3. Метод наименьших квадратов

• Оценка точности аппроксимации3. Метод наименьших квадратов
Вспомним, что при аппроксимации выбор функции
̃ i, a1, a2, …, am) производится так, что невязки
f(x
(уклонения) в узлах
̃ i, a1, a2, …, am) = εi
yi - f(x
(**)
являются возможно малыми по значению.
• Оценка точности проводится на основе анализа невязок.
• Критериями точности могут быть:
среднеквадратичное отклонение (ошибка):
n
s
( y f(x ))
i 1
i
i
n( n 1)
Чем меньше s, тем точнее модель.
2

20. 3. Метод наименьших квадратов

• и коэффициент детерминации:
n
2
(
y
f
(
x
))
i
i
R 2 1 i n1
( y y )
2
i
i 1
• где
,
n
y
y i 1
n
i
-- среднее значение исходных (табличных) данных.
Чем ближе R2 к единице, тем точнее модель (гипотеза)
функциональной зависимости описывает данные.