Решение систем линейных уравнений

1. Решение систем линейных уравнений

1.
2.
Основные понятия систем линейных уравнений.
Матричный метод решения систем линейных
уравнений.
3.
Метод Крамера.
4.
Метод Гаусса.

2. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

1.4. Системы линейных уравнений: основные
понятия и определения
Определение.1.13. Системой линейных
алгебраических уравнений, содержащих m уравнений
и n неизвестных, называется система вида:
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...............................................
am 2 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
где aij, i=1,2,…,n, j=1,2,…,m, называют
коэффициентами системы, числа bi – свободными
членами, xn – неизвестные величины, подлежащие
нахождению.

3. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Такую систему удобно записывать в компактной
матричной форме:
A X = B, где
а11
a
А 21
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
...
...
...
...
a1n x1
b1
a2 n x2
b2
,
Х
,
В
...
b
amn xn
m

4. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Определение.1.14. Решением системы называется n
значений неизвестных x1=c1, x2=c2, …,xn=cn, при
подстановке которых все уравнения системы
обращаются в верные равенства. Всякое решение
можно записать в виде вектор-столбца
с
1
с2
С
с
n

5. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Определение.1.15. Расширенной матрицей системы
называется матрица, дополненная столбцами
свободных членов:
а11
a21
А
...
a
m1
a
12
a
22
...
...
a
m2
...
...
...
a
1n b1
a
2n b2
...
a
b
m
mn

6. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Определение.1.16. Система уравнений называется
совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и
несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Определение.1.17. Совместная система называется
определенной, если она имеет единственное решение и
неопределенной, если она имеет более одного
решения.
Каждое решение неопределенной системы называется
частным решением системы, совокупность всех
частных решений – общее решение системы.

7. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Определение.1.18. Две системы называются
эквивалентными (равносильными), если любое
решение первой системы является решением второй и,
наоборот, любое решение второй является решением
первой системы.
Эквивалентные преобразования получаются, в частности, при
элементарных преобразованиях системы, при условии, что
преобразования выполняются лишь над строками:
уравнения можно менять местами;
можно обе части любого уравнения умножить или разделить
на одно и то же число, отличное от 0;
можно к одному к одному из уравнений прибавить или вычесть
из него другое уравнение;
можно вычеркнуть уравнение, в котором все коэффициенты
при неизвестных и свободный член раны нулю.

8. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Определение.1.19. Система линейных уравнений
называется линейной системой канонического вида,
если в каждом ее уравнении найдется неизвестное,
коэффициент при котором равен 1 и которое
отсутствует во всех других уравнениях.
x1 2 x2 3 x3 3
7
11
x2 x3
5
5
x3 2

9. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

1.5. Решение систем линейных уравнений
1. Матричный метод решения систем линейных
уравнений (метод обратной матрицы)
Матричный метод применим к решению систем
уравнений, где число уравнений равно числу
неизвестных. Метод удобен для решения систем
невысокого порядка, основан на применении свойств
умножения матриц.

10. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Пусть дана система уравнений: a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
Составим матрицы:
a11 a12
a22
a
А 21
... ...
a
n1 an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
b1
b
В 2
...
b
n
x1
x
Х 2
...
x
n
Систему уравнений можно записать:
A X = B.

11. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Основная матрица А такой системы квадратная,
определитель этой матрицы называется определителем
системы. Если определитель отличен от нуля, то
система называется невырожденной. Найдем решение
данной системы, в случае ≠0.
Сделаем следующее преобразование:
A-1 A X = A-1 B,
т.к. А-1 А = Е, то Е Х = А-1 В
Х = А-1 В

12. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Пример 19. Решить систему уравнений:
5 x y z 0
x 2 y 3z 14
4 x 3 y 2 z 16
Решение:
x
0
5 1 1
Х y , B = 14 , A = 1 2 3
z
16
4 3 2

13. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

14. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

15. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

16. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

2. Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае
систем линейных уравнений, где число переменных
совпадает с числом уравнений. Кроме того,
необходимо ввести ограничения на коэффициенты
системы. Необходимо, чтобы все уравнения были
линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не
являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы
матрицы системы не равнялся 0.
det A 0
определитель

17. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Теорема.1.1 (правило Крамера)
Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
в случае если определитель системы не равен нулю,
она имеет единственное решение и это решение
находится по формулам:
xi = i/ , где
= det A, а i – определитель матрицы, получаемой
из матрицы системы заменой столбца i столбцом
свободных членов bi.

18. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

В частном случае, при n=3, получаем:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a 21 x1 a 22 x2 a 23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
a11 a12
А a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
b1
1 b2
b3
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11 b1
2 a21 b2
a31 b3
x1 = 1/det A;
x2 = 2/det A;
x3 = 3/det A;
a13
a23
a33
a11 a12 b1
3 a21 a22 b2
a31 a32 b3

19. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Пример 20. Найти решение системы уравнений:
5 x y z 0
x 2 y 3z 14
4 x 3 y 2 z 16
Решение:

20. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

21. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

22. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Замечание. Теорема дает достаточное условие
совместимости системы, но это условие не является
необходимым. Равенство определителя нулю не
означает, что система несовместна.
Замечание. Если система однородна, т.е. bi = 0, то
при 0 система имеет единственное нулевое решение
x1 = x2 = … = xn = 0. При = 0 система имеет
бесконечное множество решений.
Пример 21. Найти решение системы уравнений:
x 3 y 6 z 12
3x 2 y 5 z 10
2 x 5 y 3z 6

23. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

3. Метод Гаусса.
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера,
метод Гаусса может быть применен к системам
линейных уравнений с произвольным числом уравнений
и
неизвестных.
Суть
метода
заключается
в
последовательном исключении неизвестных.

24. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Теорема.1.2. При элементарных
система
линейных
уравнений
равносильную.
преобразованиях
переходит
в
Теорема.1.3. Любую совместную систему линейных
уравнений с помощью элементарных преобразований
можно привести к каноническому виду.
На использовании этих теорем основан метод Гаусса, суть
которого состоит в том, что с помощью элементарных
преобразований исходную линейную систему приводят либо к
системе,
содержащей
противоречивое
уравнение
0 х1+0 х2+…+0 хn=С, (где С≠0) и, следовательно, несовместной,
либо к системе канонического вида.

25. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Рассмотрим систему линейных уравнений:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
1 этап (прямой ход метода Гаусса)
1) Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0,
затем:
• умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
• умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и
т.д., пока все элементы первого столбца не
обратятся в ноль, получим:

26. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

x1 d12 x2 ... d1n xn d1
d 22 x2 ... d 2 n xn d 2
..............................................
d m 2 ... d mn xn d m
где dij и di – новые значения коэффициентов и правых
частей, которые получаются после первого шага.

27. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

2) далее повторяем эти же действия для второго
уравнения системы, потом – для третьего и т.д., пока это
возможно.
Если в процессе приведения системы к ступенчатому
виду появятся нулевые уравнения (0=0), то их
отбрасывают, а если появится уравнение вида 0=di, то
это свидетельствует о несовместности системы.
Получим:
a11 x1 a12 x2 ... a1k xk ... a1n xn b1
a22 x2 ... a2 k xk ... a2 n xn b2
...............................................
akk xk ... akn xn bk

28. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

2 этап (обратный ход метода Гаусса)
В
последнем
уравнении
выражаем
первое
неизвестное xk через остальные неизвестные (xk+1, … xn).
Затем подставляем xk в предпоследнее уравнение и
выражаем xk-1 через переменные (xk+1, … xn) и т.д. до x1.
(x1, … xk) – базисные неизвестные, а (xk+1, … xn) –
свободные неизвестные.
Придавая свободным неизвестным произвольные
значения, получим бесчисленное множество решений
системы.

29. Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается
треугольной, т.е. k=n, то исходная система имеет
единственное решение.
2. На практике удобней работать не системой, а с ее
расширенной матрицей и удобней, чтобы коэффициент
а11 был равен 1, для чего уравнения меняют местами.
Пример 22. Решить систему линейных уравнений
методом Гаусса. 2 x1 x 2 x3 5
x1 2 x 2 3x3 3
7 x x x 10
2
3
1