Область определения и множество значений тригонометрических функций (11 класс)

1. 11 класс Алгебра Область определения и множество значений тригонометрических функций

Автор презентации:
Попов Дмитрий Сергеевич

2. Сегодня на занятии мы с вами рассмотрим четыре тригонометрические функции: у = sin (x), у = cos (x), у = tg (x), y = ctg (x).

3. Значения х, при которых определена функция у = sin(х) – это любые действительные числа.

y = sin(x)
Значения х, при которых определена
функция у = sin(х) – это любые
действительные числа.
То есть, какие бы вы числа не брали, вы все равно сможете «вытащить» и
вычислить свой синус.

4. Множество значений, которые принимает сама функция у = sin(х) – это интервал от минус единицы до единицы включительно.

y = sin(x)
С множеством значений, т.е. именно со значением самой функции (с у),
нужно быть внимательнее, так как
Множество значений, которые
принимает сама функция у = sin(х) –
это интервал от минус единицы до
единицы включительно.

5.

y = sin(x)
Исходя из вышесказанного,
можно сделать вывод, что

6.

Как это можно увидеть на графике?
y = sin(x)
Хоть здесь график идёт только в
правую сторону, он точно
также продолжается в
реальности и в левую сторону,
т.е. в реальности мы с вами
можем идти от -∞, включая
ноль, и до +∞ (это по оси х).
А вот у у нас «застрял». Как мы
видим, максимальное значение по
оси у у нас 1, а минимальное -1.
Получается, что весь график у нас, как бы он «волнами» не шёл, эти «волны»
всегда будут лежать от -1 до 1.

7. Значения х, при которых определена функция у = соs (х) – это любые действительные числа.

y = соs(x)
Значения х, при которых определена
функция у = соs (х) – это любые
действительные числа.
Заметим, что у косинуса такая же область определения, то есть все х,
которые являются действительными числами.

8. Множество значений, которые принимает сама функция у = cos(х) – это интервал от минус единицы до единицы включительно.

y = соs(x)
Множество значений, которые
принимает сама функция у = cos(х) –
это интервал от минус единицы до
единицы включительно.
Обратите внимание: то же самое, что и у синусов. У cos(x) точно такие
же область определения и множество значений, что и у sin(x).

9. Теперь вам может быть непонятно: если область определения и множество значений функций одинаковые, то почему они называются по

разному и в чём заключается
разница, откуда она взялась?
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМСЯ!

10.

Как это можно увидеть на графике?
y = соs(x)
Если вы внимательно посмотрите на графике, то сможете заметить, что у
синуса мы шли от нуля, но у косинуса мы идём от 1. Здесь оба графика взяты на
некоторую часть, но мы помним, что график бесконечен в одну сторону и
бесконечен в другую.

11. Значения х, при которых определена функция у = tg(х) – это все числа, исключая

y = tg(x)
Значения х, при которых определена
функция у = tg(х) – это все числа,
исключая
Как вы увидели, у тангенса всё сложнее. Дело в том, что, если вы
вспомните ещё геометрическое определение тангенса, то tgx =
, то
есть у нас появляется дробь. А если дробь, то сразу вспоминаем некие
ограничения (мы не можем делить на ноль), то есть те точки, в которых
мы будем нулём, нужно «выколоть», их нельзя брать, мы их запретим.
- что это за числа? Это 90° и 270°, то есть те точки, которые у нас
находятся на вертикальной оси, те точки в которых у нас косинус будет
равен нулю. То есть, чтобы на 0 не делить, мы эти точки будем исключать.
В области определения у нас уже есть исключения.

12. Множество значений, которые принимает сама функция у = tg(х) – это любые действительные числа.

y = tg(x)
С множеством значений всё наоборот. Раньше мы там ограничивали
наш у (у синусов и косинусов), а тангенса всё просто: «где у хочет
гулять, там он и гуляет».
Множество значений, которые
принимает сама функция у = tg(х) –
это любые действительные числа.

13.

Как это можно увидеть на графике?
y = tg(x)
Все точки, которые выделены
пунктиром, мы должны с вами
«выкалывать», мы не должны их
видеть.
График тангенса уходит до
бесконечности вверх и до
бесконечности вниз.
Более того, график повторится
после пунктирной линии, как в одну
сторону, так и во вторую.

14. Значения х, при которых определена функция у = сtg(х) – это все числа, исключая пk, k ∈ Z.

y = ctg(x)
Итак, ещё одна функция, с которой мы с вами знакомились, но, к
сожалению, она редко появляется в задачах – это y=ctg(x). Она обратна
тангенсу, и в общем-то обратна она практически во всём.
Значения х, при которых определена
функция у = сtg(х) – это все числа,
исключая пk, k ∈ Z.

15. Множество значений, которые принимает сама функция у = ctg(х) – это любые действительные числа.

y = ctg(x)
Множество значений, которые
принимает сама функция у = ctg(х) –
это любые действительные числа.

16.

Как это можно увидеть на графике?
y = ctg(x)
От тангенса отличается тем, что дуга
уже идёт в другую сторону, более того
график смещён.

17. ПРИМЕР 1

Найти область определения функции у = sin 2x.
Ответ: х R.

18. ПРИМЕР 2

Найти область определения функции
Решение:
Отсюда х < –1 и х
Ответ: х
0.
1.
.

19. ПРИМЕР 3

Найти множество значений функции у = 1 – cosx.
. Решение:

20. ПРИМЕР 4

Найти область определения функции
Решение:

21. ПРИМЕР 5

Найти множество значений функции
Решение:

22. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Прочитать § 38
• Выполнить №691(4), 692(2),
694(5), 695(2), 696(2)