Тема 1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины Лекция 5

1.

Модуль 2. Случайные величины.
Тема 1. Понятие случайной величины. Закон
распределения случайной величины
Лекция 5

2.

План
1.
2.
3.
4.
Понятие случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Многоугольник распределения.
Математические операции над дискретными случайными
величинами.

3.

Понятие случайной величины
Наряду со случайным событием и вероятностью, одним из
важнейших понятий теории вероятностей является понятие
случайной величины.
Под случайной величиной понимают величину, которая в
результате опыта принимает значение случайным образом,
причем неизвестное заранее.
Случайные величины обозначают прописными латинскими
буквами X, Y, Z,… или строчными греческими буквами , , и
т.д., а принимаемые значения соответственно малыми буквами
x1 , x2 ,..., y1 , y2 ,...
Примерами случайных величин могут служить:
число
очков, появившихся при бросании игральной кости, число
выстрелов до первого попадания в цель, рост человека, курс
доллара и т.д.

4.

Понятие случайной величины
Определение 1. Случайная величина, принимающая конечное и
счетное множество значений, называется дискретной. А если
же множество возможных значений случайной величины
несчетно, то такая величина называется непрерывной.
Получается, что дискретная случайная величина принимает
отдельные
изолированные
друг
от
друга
значения,
а
непрерывная случайная величина может принимать любые
значения из некоторого промежутка.
Примером дискретной случайной величины может служить
число
выстрелов
непрерывной
до
случайной
первого
попадания,
величины может
а
примером
служить
время
безотказной работы прибора, так как ее возможные значения
принадлежат промежутку [0, t ) , где t 0 .

5.

Понятие случайной величины
Дадим определение случайной величины, исходя из теоретикомножественной
трактовки
основных
понятий
теории
вероятностей.
Определение 2. Случайной величиной Х называется
числовая функция, определенная на пространстве элементарных
событий
,
которая каждому элементарному событию
ставит в соответствие число X ( ) , т.е. X X ( ), .
Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. Тогда
{ 1 , 2 , 3 , 4 } .
Можно рассмотреть
случайную величину Х-
число появлений герба. Случайная величина Х является
функцией
от
элементарного
X ( 1 ) 2, X ( 2 ) 1, X ( 3 ) 1, X ( 4 ) 0 .
Х-
величина со значениями x1 0, x2 1, x3 2 .
события
дискретная
i .
случайная

6.

Понятие случайной величины
Определение 3. Любое правило, позволяющее находить
вероятности произвольных событий A S ( S алгебра событий
пространства
),
в частности указывающие вероятности
отдельных значений случайной величины или множества этих
значений,
величины.
называется
законом
распределения
случайной

7.

Закон распределения дискретной случайной величины
Пусть Х- дискретная случайная величина, которая принимает
значения
x1 , x2 ,..., xn ,... с некоторой вероятностью p i , где i 1,2,..., n,... .
Закон распределения дискретной случайной величины удобно
задать
с
помощью
формулы
pi P{ X xi },
i 1,2,..., n,... ,
определяющей вероятность того, что в результате опыта
случайная величина Х примет значение
xi .
Для дискретной
случайной величин Х закон распределения может быть задан в
виде таблицы распределения:
X
x1
x2
….
xn
….
P
p1
p2
….
pn
…
где первая строка содержит все возможные значения случайной
величины, а вторая - их вероятности. Такую таблицу называют
рядом распределения.

8.

Многоугольник распределения
Так как события {X x1},{x x2 },... несовместны и образуют полную
группу, то сумма их вероятностей равна 1, т.е. pi 1 .
i
Закон распределения дискретной случайной величины можно
задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные
значения случайной величины, а на оси ординат- вероятности этих
значений.
Ломаную,
соединяющую
последовательно
точки
( x1 , p1 ), ( x2 , p2 ),..., ( xn , pn ),... называют многоугольником распределения.
Таким образом, случайная величина Х дискретна, если
существует конечное или счетное множество чисел
таких, что P{X xi } pi 0, i 1,2,..., n,... и pi 1 .
i
x1 , x2 ,..., xn ,... ,

9.

Математические операции над дискретными случайными
величинами
Суммой (разностью, произведением) дискретной случайной
величины
Х,
pi P{ X xi } ,
принимающей
i 1,2,..., n
и
значения
дискретной
xi
с
вероятностями
случайной
величины
Y,
принимающей значения y j с вероятностями p j P{Y y j } , j 1,2,..., m ,
называется дискретная случайная величина Z X Y (Z X - Y, Z X Y)
,
принимающая
значения
с
z ij xi y j ( z ij xi y j , z ij xi y j )
вероятностями pij P{ X xi , Y y j } для всех указанных значений i, j . В
случае совпадения некоторых сумм
xi y j ,
разностей
xi y j ,
произведений xi y j соответствующие вероятности складываются
Произведением дискретной случайной величины на число c
называется дискретная случайная величина
значения cxi с вероятностями pi P{X xi } .
cX ,
принимающая

10.

Математические операции над дискретными случайными величинами
Две случайные величины
X
и
Y называют
независимыми, если
события { X xi } Ai и {Y y j } B j независимы для любых i 1,2,..., n ,
j 1,2,..., m , т.е.
P{ X xi , Y y j } P{ X xi }P{Y y i } .
В противном случае их называют зависимыми. Несколько
случайных величин называются взаимно независимыми, если закон
распределения любой из них не зависит от того, какие возможные
значения приняли остальные величины.
Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные
черные. Из нее наудачу вынимают 3 шара. Найти закон
распределения числа белых шаров в выборке.