Производная функции

1.

Производная функции
Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование

2.

Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение x :
x x (a; b )
Найдем соответствующее приращение функции:
y f ( x x ) f ( x )
y
Если существует предел lim
x 0
x
y
f(x+ Δx )
y
f(x )
0
x
х
x+Δx
х
то его называют производной
функции y = f(x) и обозначают
одним из символов:
y ;
f ( x );
dy
dx

3.

Определение производной
Итак, по определению:
f ( x x ) f ( x )
y lim
x 0
x
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала
(a; b), называется дифференцируемой в этом интервале;
операция нахождения производной функции называется
дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается
одним из символов:
y ( x0 );
f ( x0 );
y x
0
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс,
то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический
смысл производной.

4.

Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
y
f(x+ Δx )
f(x )
М1
y
М
М
x
α φ
0
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ
угол наклона секущей.
х
x+Δx
х
y
tg
x
f ( x x ) f ( x )
x
При x 0 в силу непрерывности функции y также
стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается
по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.
lim lim tg tg
x 0
x 0

5.

Геометрический смысл производной
f ( x x ) f ( x )
y
lim
tg
k
x 0
x
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в точке,yабсцисса
которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой
коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y y 0 кf '((xx-0 )(
x 0x)- x 0 )
Уравнение
Уравнение
касательной
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания,
называется нормалью к кривой. f ' ( x 0 )
1
1
1
k норм
y y0
( x x0 )
k кас
f ' ( x0 )
f ' ( x0 )

6.

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где sпройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t0 .
К моменту времени t0 пройденный путь равен s0 = s(t0), а к моменту (t0 +∆t) –
путь s0 + ∆s=s(t0 +∆t).
∆