Теорема Гаусса

1.

Теорема Гаусса

2.

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855)
немецкий математик, астроном и
физик.
Исследования посвящены многим
разделам физики.
•В 1832 г. создал абсолютную
систему мер (СГС), введя три
основных единицы: единицу
времени – 1 с, единицу длины – 1 мм,
единицу массы – 1 мг.
•В 1833 г. совместно с В. Вебером
построил первый в Германии
электромагнитный телеграф.
•Еще в 1845 г. пришел к мысли о
конечной скорости распространения
электромагнитных взаимодействий.
• Изучал земной магнетизм, изобрел
в 1837 г. униполярный магнитометр,
в 1838 г. – бифилярный.
•В 1829 г. Сформулировал принцип
наименьшего принуждения (принцип
Гаусса).
•Один из первых высказал в 1818 г.
предположение о возможности
существования неевклидовой
геометрии.

3.

поток вектора напряженности
через произвольную
элементарную площадку ΔS
ΔΦ = E∆S cos α = EnS
Φ - поток вектора
напряженности
электрического поля.
Таким образом, поток вектора есть скаляр,
который в зависимости от величины угла α может
быть как положительным, так и отрицательным.

4.

∙
Полное число силовых линий, проходящих через
поверхность S называется потоком вектора
напряженности Ф через эту поверхность
теорема Гаусса для одного заряда.

5.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S.
Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, определить
элементарные потоки
поля
через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы
получим поток Φ вектора
через замкнутую поверхность S
В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.

6.

Для любого числа произвольно расположенных
зарядов, находящихся внутри поверхности:
Поток вектора напряженности электрического
поля через замкнутую поверхность в вакууме
равен алгебраической сумме всех зарядов,
расположенных внутри поверхности, деленной на
ε0.
Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если
принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее
следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют
альтернативной формулировкой закона Кулона.

7.

Полный поток проходящий через
охватывающую заряд q, равен нулю:
Ф3 0
S3,
не

8.

• Таким образом, для точечного заряда q,
полный поток через любую замкнутую
поверхность S будет равен:
– если заряд расположен внутри
замкнутой поверхности;
• Ф=0 – если заряд расположен вне
замкнутой поверхности;
• этот результат не зависит от формы
поверхности, и знак потока совпадает со
знаком заряда.

9.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко
вычислить напряженность электрического поля вокруг
заряженного тела, если заданное распределение зарядов
обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля
можно заранее угадать
1. задача о вычислении поля тонкостенного полого
однородно заряженного длинного цилиндра
радиуса R.
Эта задача имеет осевую симметрию.
Из соображений симметрии,
электрическое поле должно быть
направлено по радиусу. Поэтому для
применения теоремы Гаусса
целесообразно выбрать замкнутую
поверхность S в виде соосного
цилиндра некоторого радиуса r и
длины l, закрытого с обоих торцов

10.

При r ≥ R весь поток вектора напряженности
будет проходить через боковую поверхность
цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так
как поток через оба основания равен нулю.
Применение теоремы Гаусса дает:
где τ – заряд единицы длины цилиндра.
Отсюда

11.

0 внутри цилиндра, т.к. там нет зарядов
q
E
или
на поверхности цилиндра
2 0 Rl
2 0 R
q
или
вне цилиндра
2 0 rl
2 0 r

12.

2.определение поля равномерно заряженной плоскости
В этом случае гауссову поверхность S
целесообразно выбрать в виде цилиндра
некоторой длины, закрытого с обоих торцов.
Ось цилиндра направлена перпендикулярно
заряженной плоскости, а его торцы
расположены на одинаковом расстоянии от
нее. В силу симметрии поле равномерно
заряженной плоскости должно быть везде
направлено по нормали. Применение теоремы
Гаусса дает:
или
где σ – поверхностная плотность заряда, то есть заряд, приходящийся на
единицу площади.

13.

Поле равномерно заряженной сферы
Внутри сферы, при r<R
поле будет равно нулю, т.к. там
нет зарядов:
R
Е