Математическое моделирование
1.60M
Category: mathematicsmathematics

Конечно-разностные методы решения систем уравнений, описывающих нестационарные режимы работы теплообменника

1. Математическое моделирование

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Лекция 14.
Конечно-разностные методы решения
систем уравнений, описывающих
нестационарные режимы работы
двухпоточного противоточного
теплообменника.

2.

T10
T20

3.

Начальные условия:
,
Граничные условия общего вида
будут иметь следующий вид:
k1( ) m1 ( )T1( ,0 ) m3 ( )T1( ,1 ) m5 ( )T2 ( ,0 ) m7 ( )T2 ( ,1 )
k2 ( ) m 2 ( )T1( ,0 ) m 4 ( )T1( ,1 ) m6 ( )T2 ( ,0 ) m8 ( )T2 ( ,1 )

4.

Явная конечно-разностная схема имеет вид:
j
j
T1,ji 1 T1,ji
T1,i T1,i 1
j
j
j
j
a1,i 1
b1,i 1( Tст ,i 1 T1,i 1 ),
x
i 2,..., n 1
j 1
j
T
T
ст ,i ст ,i j ( T j T j ) j ( T j T j ),i 1,..., n 1
1,i 1,i
ст ,i
2 ,i
2 ,i
ст ,i
T j 1 T j
j
j
T2 ,i 1 T2 ,i
2
,
i
2
,
i
j
j
j
j
a2 ,i 1
b2 ,i 1( Tст ,i 1 T2 ,i 1 ),
x
i 1,..., n
j 1,..., m

5.

Граничное условие:
k 1 m1 T1,1 m3 T
m5 T2 ,1 m 7 T
k 2 m T1,1 m T
m 6 T2 ,1 m T
j
j
j
j
2
j
j
j
j
1,n 1
j j
4 1,n 1
j
j
j
j
j
j
2 ,n 1
j j
8 2 ,n 1
j 1,..., m 1
Начальные условия:
1
1,i
T
T ( xi ), T
1
ст ,i
T
0
1
1
2 ,i
T ( xi )
0
2
Tст ( xi ), i 1,..., n 1
0

6.

Схема устойчива при выполнении условия:
|| a ||
1
x
|| a || max(| a |,| a |)
j
1,i
j
2 ,i
Погрешность аппроксимации первого порядка:
0( x ) 0( )

7.

Из конечно-разностных уравнений получаются
следующие выражения для определения
неизвестных значений температур потока и
стенки:
T1,i T1,i 1
j 1
j
j
j
j
j
T1,i T1,i b1,i 1 (Tст ,i 1 T1,i 1 ) a1,i 1 x ,
j 1
j
Tст ,i Tст ,i
j
j
j
j
j
j
(
T
T
)
(
T
T
)
1
,
i
1
1
,
i
ст
,
i
2
,
i
2
,
i
ст
,
i
j
j
T2 ,i 1 T2 ,i
j
j 1
j
j
j
j
T2 ,i T2 ,i 1 b2 ,i 1 (Tст ,i 1 T2 ,i 1 ) a2 ,i 1
x
j
j

8.

Неявная конечно-разностная схема имеет вид:
j 1
j 1
T1,ji 1 T1,ji
T1,i T1,i 1
j
j
j 1
j 1
a
b
(
T
T
1,i 1
1,i 1
ст ,i 1
1,i 1 ),
x
i 2,..., n 1
j 1
j
T
T
ст ,i ст ,i j ( T j 1 T j 1 ) j ( T j 1 T j 1 ),i 1,..., n 1
1,i
1,i
ст ,i
2 ,i
2 ,i
ст ,i
T j 1 T j
j 1
j 1
T2 ,i 1 T2 ,i
2
,
i
2
,
i
j
j
j 1
j 1
a2 ,i 1
b2 ,i 1( Tст ,i 1 T2 ,i 1 ),
x
i 1,..., n
j 1,..., m

9.

В случае
условий:
независимых
граничных
,
T1(0)=T10 T2(1)=T20
т.е. известных значений
j
1,1
T
T , T
j
10
j
2 ,n 1
j 1,..., m 1
T
j
20

10.

преобразовывая:
j
j 1 1 a1j,i 1
a
j 1
j
1,i 1
j 1
j
j 1
T
b
T
b
T
T1,i
1
,
i
1
1
,
i
1
1
,
i
1
,
i
1
ст ,i 1
x
x
j 1 1
j
j
j 1
j
j 1
j
j 1
T
T
T
T
1,i 1,i
ст ,i
1,i
2 ,i
ст ,i
2 ,i 2 ,i
j
1 aj
a2 ,i 1
j 1
2 ,i 1
j 1
j
j 1
T2 ,i 1 b2 ,i 1
T2 ,i b2j,i 1Tстj ,i1 1
T2 ,i
x
x

11.

преобразовывая:
T1,ji 1 x a1j,i 1 T1,ji 11 b1j,i 1 x a1j,i 1
j
j
j 1
T1,i x x b1,i 1 Tст ,i 1
j 1
j
j
T
1
(
ст ,i
1,i
2 ,i )
j
j
j 1
j
j 1
Tст ,i 1,i T1,i 2 ,i T2 ,i
j 1
j
j 1
j
j
T
x
a
T
b
x
a
2
,
i
2
,
i
1
2
,
i
1
2
,
i
1
2
,
i
1
j
j
j 1
T
x
x
b
T
2 ,i
2 ,i 1
ст ,i 1

12.

Из конечно-разностного аналога уравнения
энергетического
баланса
для
стенки
выражается:
j 1
ст ,i 1
T
j 1
ст ,i 1
T
j
1,i 1
j
1,i 1
j 1
1,i 1
j
2 ,i 1
j
2 ,i 1
j
ст ,i 1
T
j
j
1 ( 1,i 1 2 ,i 1 )
j
ст ,i 1
T
T
T
j 1
1,i 1
j
1,i 1
1 (
j
2 ,i 1
)
T
j 1
2 ,i 1
T
j 1
2 ,i 1

13.

Подставляя в конечно-разностные уравнения
теплового баланса потоков:
T1,ji 1 x a1j,i 1 T1,ji 11 b1j,i 1 x a1j,i 1 xT1,ji
j
j
j 1
j
j 1
T
T
T
j
ст ,i 1
1,i 1 1,i 1
2 ,i 1
2 ,i 1
x
b
1,i 1
j
j
1
(
1,i 1
2 ,i 1 )
j 1
j
j 1
j
j
j
T
x
a
T
b
x
a
xT
2 ,i 1
2 ,i 1
2 ,i 1
2 ,i 1
2 ,i
2 ,i
j
j
j 1
j
j 1
Tст ,i 1 1,i 1 T1,i 1 2 ,i 1 T2 ,i 1
x b j
2 ,i 1
j
j
1
(
1,i 1
2 ,i 1 )

14.

После преобразований получается:
2 j
j
j
x b1,i 1 1,i 1 j 1
j
b1,i 1 x a1,i 1
T
1
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
2 j
j
j 1
x
b
j
j 1
2 ,i 1 1,i 1
T1,i 1
x a2 ,i 1 T2 ,i
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
2 j
j
j
x b2 ,i 1 2 ,i 1 j 1
j
b2 ,i 1 x a2 ,i 1
T
2
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
j
x
b
j
2 ,i 1
j
xT2 ,i
T
ст
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1

15.

j
x b
j
b1,i 1 x a1,i 1
1 (
2
j
j
1,i 1 1,i 1
j
j
1,i 1
2 ,i 1
j 1
T1,i 1
)
2 j
j
j 1
x
b
j
j 1
2 ,i 1 1,i 1
x a2 ,i 1 T2 ,i
T
1
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
2 j
j
j
j 1
x
b
j
2 ,i 1 2 ,i 1
b2 ,i 1 x a2 ,i 1
T
2
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
j
x b2 ,i 1
j
j
xT2 ,i
T
ст
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1

16.

В результате, с учётом независимых граничных
условий
получается
система
линейных
алгебраических уравнений:
T1,1j 1
Х 0000...........00000 j 1
X
T
ХХХ 00...........00000 2 ,1
X
0 XXX 0...........00000 T1,j2 1
X
j 1
00 XXX ...........00000 T2 ,2
X
................................ ...... ....
000000..........XXX 00 T1,jn 1
X
000000..........0 XXX 0 T2 j,n 1
X
000000..........00 XXX j 1
X
T1,n 1
000000..........0000 X
X
j 1
T2 ,n 1

17.

Данная система решается с помощью метода
прогонки на каждом шаге по времени.
Если заданы граничные условия общего вида, то
решение системы линейных алгебраических
уравнений получается общими матричными
методами.

18.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
English     Русский Rules