Конечно-разностные методы решения систем уравнений

1. Математическое моделирование

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Лекция 13.
Конечно-разностные методы решения
систем уравнений, описывающих
нестационарные режимы работы
двухпоточного прямоточного
теплообменника.

2.

Двухпоточный прямоточный теплообменник
T10
T20

3.

Начальные условия:
,
Граничные условия общего вида
будут иметь следующий вид:
k1( ) m1 ( )T1( ,0 ) m3 ( )T1( ,1 ) m5 ( )T2 ( ,0 ) m7 ( )T2 ( ,1 )
k2 ( ) m 2 ( )T1( ,0 ) m 4 ( )T1( ,1 ) m6 ( )T2 ( ,0 ) m8 ( )T2 ( ,1 )

4.

Явная конечно-разностная схема имеет вид:
j
j
T1,ji 1 T1,ji
T1,i T1,i 1
j
j
j
j
a1,i 1
b1,i 1( Tст ,i 1 T1,i 1 ),
x
i 2,..., n 1
j 1
j
T
T
ст ,i ст ,i j ( T j T j ) j ( T j T j ),i 1,..., n 1
1,i 1,i
ст ,i
2 ,i
2 ,i
ст ,i
T j 1 T j
j
j
T2 ,i T2 ,i 1
2
,
i
2
,
i
j
j
j
j
a2 ,i 1
b2 ,i 1( Tст ,i 1 T2 ,i 1 ),
x
i 2,..., n 1
j 1,..., m

5.

Граничное условие:
k 1 m1 T1,1 m3 T
m5 T2 ,1 m 7 T
k 2 m T1,1 m T
m 6 T2 ,1 m T
j
j
j
j
2
j
j
j
j
1,n 1
j j
4 1,n 1
j
j
j
j
j
j
2 ,n 1
j j
8 2 ,n 1
j 1,..., m 1
Начальные условия:
1
1,i
T
T ( xi ), T
1
ст ,i
T
0
1
1
2 ,i
T ( xi )
0
2
Tст ( xi ), i 1,..., n 1
0

6.

Схема устойчива при выполнении условия:
|| a ||
1
x
|| a || max(| a |,| a |)
j
1,i
j
2 ,i
Погрешность аппроксимации первого порядка:
0( x ) 0( )

7.

Из конечно-разностных уравнений получаются
следующие выражения для определения
неизвестных значений температур потоков и
стенки:
j
j
j 1
j
T1,i T1,i 1
j
j
j
j
T1,i T1,i b1,i 1( Tст ,i 1 T1,i 1 ) a1,i 1
,
x
j 1
j
Tст ,i Tст ,i
j
j
j
j
j
j
1,i 1( T1,i 1 Tст ,i 1 ) 2 ,i 1( T2 ,i 1 Tст ,i 1 )
j
j
T
T
j
1
j
j
j
j
j
2
,
i
2
,
i
1
T T b ( T
2 ,i
2 ,i
2 ,i 1 ст ,i 1 T2 ,i 1 ) a2 ,i 1
x

8.

Неявная конечно-разностная схема имеет вид:
j 1
j 1
T1,ji 1 T1,ji
T
T
1,i
1,i 1
j
j
j 1
j 1
a
b
(
T
T
1,i 1
1,i 1 ст ,i 1
1,i 1 ),
x
i 2,..., n 1
j 1
j
T
T
ст ,i ст ,i j (T j 1 T j 1 ) j (T j 1 T j 1 ), i 1,..., n 1
1,i 1,i
ст ,i
2 ,i 2 ,i
ст ,i
T j 1 T j
j 1
j 1
T
T
2 ,i
2 ,i
2 ,i 1
j
2 ,i
a2,i 1
b2j,i 1 (Tстj ,1i 1 T2,ji 11 ),
x
i 2,..., n 1
j 1,..., m

9.

В случае
условий:
независимых
граничных
,
т.е. известных значений
j
1,1
T
T , T
j
10
j
2 ,1
T
j 1,..., m 1
j
20

10.

преобразовывая:
j
j 1 1 a1j,i 1
a
j 1
j
1,i 1
j 1
j
j 1
T
b
T
b
T
T1,i
1
,
i
1
1
,
i
1
1
,
i
1
,
i
1
ст ,i 1
x
x
j 1 1
j
j
j 1
j
j 1
j
j 1
T
T
T
T
1,i 1,i
ст ,i
1,i
2 ,i
ст ,i
2 ,i 2 ,i
j
1 aj
a2 ,i 1
j 1
2 ,i 1
j 1
j
j 1
T2 ,i 1 b2 ,i 1
T2 ,i b2j,i 1Tстj ,i1 1
T2 ,i
x
x

11.

преобразовывая:
T
x a T
b x a
j
j
j 1
T1,i x x b1,i 1 Tст ,i 1
j 1
j
j
Tст ,i 1 ( 1,i 2,i )
j
j
j 1
j
j 1
Tст ,i 1,i T1,i 2,i T2,i
j 1
j
j 1
j
j
T
x
a
T
b
x
a
2
,
i
2
,
i
1
2
,
i
1
2
,
i
1
2
,
i
1
j
j
j 1
T2,i x x b2,i 1 Tст ,i 1
j 1
1,i
j
1,i 1
j 1
1,i 1
j
1,i 1
j
1,i 1

12.

В итоге решение можно получить из
рекуррентных соотношений:
T1,ji 1
j
j
j 1
j
j
j 1
a1,i 1 b1,i 1 x T1,i 1 xT1,i x b1,i 1 Tст ,i 1
x a1j,i 1
j
j
j 1
j
j 1
j 1 Tст ,i 1,i T1,i 2 ,i T2 ,i
Tст ,i
j
j
1
(
1,i
2 ,i )
T j 1
2 ,i
a2j,i 1 b2j,i 1 x T2 j,i 11 xT2 j,i x b2j,i 1 Tстj ,i1 1
j
x
a
2 ,i 1

13.

При использовании граничных условий общего
вида необходимо решать систему линейных
алгебраических уравнений, получающихся из
конечно-разностных аналогов и граничных
условий.

14.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!